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平面几何难题在三角形ABC中,BE为∠B的平分线,CF为∠C的平分线且BE=CF,求证AB=AC请各路高手证明(不许用反证法)
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平面几何难题
在三角形ABC中,BE为∠B的平分线,CF为∠C的平分线且BE=CF,求证AB=AC
请各路高手证明(不许用反证法)
在三角形ABC中,BE为∠B的平分线,CF为∠C的平分线且BE=CF,求证AB=AC
请各路高手证明(不许用反证法)
▼优质解答
答案和解析
证明:如图,则在△EBC与△DBC中:sin(2β+γ)/ sin2β= BC/CE = BC/BD = sin(β+2γ)/ sin2γ,
∴2sinβcosβsin(β+2γ) - 2sinγcosγsin(2β+γ) =0
→sinβ sin2(β+γ)+sin 2γ】- sinγ【 sin2(β+γ)+ sin2β】=0(积化和差)
→sin2(β+γ)【sinβ-sinγ】+2 sinβsinγ【cosγ- cosβ】=0(重新分组并提取公因式)
→sin [(β-γ)/2]【sin2(β+γ) cos[(β+γ)/2] + 2 sinβsinγsin [(β+γ)/2]=0(和差化积)
又显然上式的后一个因式的值大于零,∴sin[(β-γ)/2]=0,∴β=γ,∴AB=AC.证毕!
或
作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC
∵BE=DC
∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF
设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β
∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);
∴∠FBC=∠CEF
∵2α+2β
∴2sinβcosβsin(β+2γ) - 2sinγcosγsin(2β+γ) =0
→sinβ sin2(β+γ)+sin 2γ】- sinγ【 sin2(β+γ)+ sin2β】=0(积化和差)
→sin2(β+γ)【sinβ-sinγ】+2 sinβsinγ【cosγ- cosβ】=0(重新分组并提取公因式)
→sin [(β-γ)/2]【sin2(β+γ) cos[(β+γ)/2] + 2 sinβsinγsin [(β+γ)/2]=0(和差化积)
又显然上式的后一个因式的值大于零,∴sin[(β-γ)/2]=0,∴β=γ,∴AB=AC.证毕!
或
作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC
∵BE=DC
∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF
设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β
∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);
∴∠FBC=∠CEF
∵2α+2β
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