积分两题1.积分区间[0,1],被积函数1/(x^2-x-2),积分变量dx.2.积分区间[0,π/2],被积函数e^x*sinx,积分变量dx.第一题中“*(1/3)”是什么公式么？

Question

积分两题
1.积分区间[0,1],被积函数1/(x^2-x-2),积分变量dx.
2.积分区间[0,π/2],被积函数e^x*sinx,积分变量dx.
第一题中“*(1/3)”是什么公式么？

Answer 1

1/(x^2-x-2) = 1/[(x-2)(x+1)] = [1/(x-2) - 1/(x+1)] * (1/3)
∫1/(x-2) dx = ln|x-2|
从 0 到1的定积分结果为 ln1 - ln2 = -ln2
∫1/(x+1) dx = ln|x+1|
从 0 到1的定积分结果为 ln2 - ln1 = ln2
∫1/(x^2-x-2) dx = (-ln2 - ln2)/3 = -(2/3)ln2
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’表示求导
(e^x * cosx)’ = e^x * cosx - e^x * sinx
(e^x * sinx)’ = e^x * sinx + e^x * cosx
两式相减,推出
e^x * sinx = [(e^x * sinx)’ - (e^x * cosx)’]/2
∫e^x * sinx dx = e^x * (sinx - cosx) /2
积分区间[0,π/2]
∫e^x * sinx dx
= [e^(π/2) + 1]/2