如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且FD=12EA=1．（Ⅰ）求多面体EABCDF的体积；（Ⅱ）求证：平面EAB⊥平面EBC；（Ⅲ）记线段CB的中点为K，在平面ABCD内过

Question

如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且FD=(1)/(2)EA=1．
（Ⅰ）求多面体EABCDF的体积；
（Ⅱ）求证：平面EAB⊥平面EBC；
（Ⅲ）记线段CB的中点为K，在平面ABCD内过K点作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．

Answer 1

（Ⅰ）如图，连接ED，
∵EA⊥底面ABCD，且FD∥EA，∴FD⊥底面ABCD，
∴FD⊥AD，
∵DC⊥AD，FD∩CD=D，
∴AD⊥面FDC，…（1分）
∴V_E-FCD=(1)/(3)AD•S△FDC=(1)/(3)×(1)/(2)×1×2×2＝(2)/(3)，…（2分）
V_E-ABCD=(1)/(3)EA•SABCD=(1)/(3)×2×2×2=(8)/(3)，（3分）
∴V_多面体=V_E-FCD+V_E-ABCD=(10)/(3)．（5分）
（Ⅱ）证明：∵ABCD为正方形，∴AB⊥BC．（6分）
∵EA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥EA．（7分）
又AB∩EA=A，∴BC⊥平面EAB．（8分）
又∵BC⊂平面EBC，
∴平面EAB⊥平面EBC．（10分）
（Ⅲ）取线段DC的中点Q，连接KQ，
则直线KQ即为所求．…（11分）
图上有正确的作图痕迹…（12分）