怎么化直线L的一般方程2x+y+z-5=02x+y-3z-1=0为标准方程?书本给出的解法一我看不明啊，能教下我吗？解法一：因为y,z的系数行列式（2阶的行列式)|11,1-3|不等于0所以可由原方程组分别消

Question

怎么化直线 L 的一般方程2x+y+z-5=0 2x+y-3z-1=0 为标准方程?
书本给出的解法一我看不明啊，能教下我吗？
解法一：因为y,z的系数行列式（2阶的行列式) |1 1 ,1 -3| 不等于0 所以可由原方程组分别消去z和y，得出直线L 的射影式方程为 y=-2x+4 z=1
所以直线L 的标准方程为x/1=(y-4)/-2=(z-1)/0 (不要问我0为什么能做分母，几何解析这本书就是这么写的)
请问怎么由直线L 的射影式方程为 y=-2x+4 z=1 得出 直线L 的标准方程为x/1=(y-4)/-2=(z-1)/0

Answer 1

整理2x+y+z-5=0,①
2x+y-3z-1=0,②
①中y、z的系数分别为a=1,b=1,
②中y、z的系数分别为c=1,d=-3,
因此y、z系数行列式(正确写法是a、b第一行,c、d第二行,形成2行X2列)
|A|=|a b,c d|=ad-bc=-4≠0,可以消去y、z,（后面解释）
当直线L在XOZ平面投影时,①②联立消去y即可,不要令y=0,再带入①②中去解x、z,这表示的是直线L上纵坐标为0的点而已!
消去y后,z=1 ③,(x被同时消去,这仅是一次偶然,不是必然)
同理,当直线L在XOY平面投影时,联立消去z,
y=-2x+4 ④,(一般情况,三个未知数消去一个,就应该还剩两个)
现所求得③、④分别是直线L的两个投影平面,一旦涉及三维坐标,那么ax+by+cz+d=0不管有没有系数为0,它表示的永远是一个平面!
三维空间直线的标准方程格式为：(x-x₁)/m=(y-y₁)/n=(z-z₁)/p,(系数一定为1)
其中,点M(x₁,y₁,z₁)表示的是直线L上的一个已知点,向量s=(m,n,p)表示直线L的方向向量.
那么,
对于③,z=1,可以写成z=0·x+1(没有y,因为是消去y才得到本式),
即(z-1)/0=x=(x-0)/1 ⑤,(后面解释)
对于④,y=-2x+4,
即(y-4)/-2=x=(x-0)/1 ⑥,
⑤⑥联立即得直线L标准方程：(x-0)/1=(y-4)/-2=(z-1)/0,
且直线上已知点M(0,4,1)与方向向量s=(1,-2,0),可以用①②来验证.
先解释二阶行列：
对于方程组：ax+by+e=0,
cx+dy+f=0,
解得x=(bf-de)/(ad-bc),y=(ce-af)/(ad-bc),
分母ad-bc即为二阶行列|a b,c d|,如果为0,那么原方程无解,只有不为0,才能分别消去x、y求解；对于本题一样,x、y的系数二行列为0,所以没有考虑分别消去x、y来求解,当然本题x、z的系数二行列也不为0,也可分别消去x、z来解,这时标准方程为：(x-2)/(-1/2)=(y-0)/1=(z-1)/0,其中的已知点为(2,0,1),方向向量为(-1/2,1,0),与上述解的方程是等价的,因为方向向量没变!
再来解释分母为0：
标准方程格式：(x-x₁)/m=(y-y₁)/n=(z-z₁)/p,其中作为分母的m、n、p皆不能为零,
当其中有一个为零时,例如m=0,而n,p≠0时,这时应理解为x-x₁=0,(y-y₁)/n=(z-z₁)/p,它表示的一条垂直于x轴的直线,本题就是一条垂直于z轴的直线；从方向向量也可以看出,向量坐标为两点坐标之差,该直线方向向量竖轴坐标为0,说明该直线上任一点的竖轴坐标都相等,且z=1,因此与z轴垂直.