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(1)18世纪的时候,欧拉通过研究,发现凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足一个等式关系.请你研究你熟悉的一些几何体(如三棱锥、三棱柱、正方体…),归纳出F、V、E之间的关系等
题目详情
(1)18世纪的时候,欧拉通过研究,发现凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足一个等式关系.请你研究你熟悉的一些几何体(如三棱锥、三棱柱、正方体…),归纳出F、V、E之间的关系等式:______;
(2)运用你得出的关系式研究如下问题:一个凸多面体的各个面都是三角形,则它的面数F可以表示为顶点数V的函数,此函数关系式为______.
(2)运用你得出的关系式研究如下问题:一个凸多面体的各个面都是三角形,则它的面数F可以表示为顶点数V的函数,此函数关系式为______.
多面体 | 面数(F) | 顶点数(V) | 棱数(E) |
三棱锥 | 4 | 4 | 6 |
三棱柱 | 5 | 6 | … |
正方体 | … | … | … |
… | … | … | … |
▼优质解答
答案和解析
(1)凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E,举例如下
①正方体:F=6,V=8,E=12,得V+F-E=8+6-12=2;
②三棱柱:F=5,V=6,E=9,得V+F-E=5+6-9=2;
③三棱锥:F=4,V=4,E=6,得V+F-E=4+4-6=2.
根据以上几个例子,猜想:凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系:V+F-E=2
再通过举四棱锥、六棱柱、…等等,发现上述公式都成立.
因此归纳出一般结论:V+F-E=2
(2)一个多面体的各个面都是三角形,这个多面体的棱数E=
F,
∵V+F-E=2,
∴V+F-
F=2,
∴F=2V-4.
故答案为:V+F-E=2;F=2V-4.
①正方体:F=6,V=8,E=12,得V+F-E=8+6-12=2;
②三棱柱:F=5,V=6,E=9,得V+F-E=5+6-9=2;
③三棱锥:F=4,V=4,E=6,得V+F-E=4+4-6=2.
根据以上几个例子,猜想:凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系:V+F-E=2
再通过举四棱锥、六棱柱、…等等,发现上述公式都成立.
因此归纳出一般结论:V+F-E=2
(2)一个多面体的各个面都是三角形,这个多面体的棱数E=
3 |
2 |
∵V+F-E=2,
∴V+F-
3 |
2 |
∴F=2V-4.
故答案为:V+F-E=2;F=2V-4.
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