（2014•宜昌模拟）在平面四边形ACPE中（如图1），D为AC的中点，AD=DC=PD=2，AE=1，且AE⊥AC，PD⊥AC，现将此平面四边形沿PD折起使二面角A-PD-C为直二面角，得到立体图形（如图2），又B为平面ADC

Question

（2014•宜昌模拟）在平面四边形ACPE中（如图1），D为AC的中点，AD=DC=PD=2，AE=1，且AE⊥AC，PD⊥AC，现将此平面四边形沿PD折起使二面角A-PD-C为直二面角，得到立体图形（如图2），又B为平面ADC内一点，并且ABCD为正方形，设F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．
（1）求证：面EGH∥面ADPE；
（2）在线段PC上是否存在一点M，使得面FGM⊥面PEB？若存在，求线段PM的长；若不存在，请说明理由

Answer 1

（Ⅰ）∵点F、G、H分别为PB、EB、PC的中点，
∴FH、FG分别为△PBC、△PBE的中位线，
∴FH∥BC、FG∥PE，
又正方形ABCD中，BC∥AD，∴FH∥AD，
又FH∩FG=F，PE⊂面ADPE，AD⊂面ADPE，
∴面FGH∥面ADPE．…（5分）
（Ⅱ）∵二面角A-PD-C为直二面角，
又PD⊥AD，PD⊥CD，
∴AD⊥CD，
如图建系，则有P（0，0，2），E（2，0，1），
B（2，2，0），F（1，1，1），G（2，1，(1)/(2)），
则

PE

＝(2，0，−1)，

PB

＝(2，2，−2)，
设面PEB的法向量

n

＝(x，y，z)，
则√(n•PE＝2x−z＝0n•作业帮用户2016-11-26问题解析（Ⅰ）由已知条件得FH∥BC、FG∥PE，从而FH∥AD，由此能证明面FGH∥面ADPE．（Ⅱ）以D为原点建立空间直角坐标系，利用微量 法能求出在线段PC上存在一点M，线段PM=(6)/(7)√(2)．名师点评本题考点：直线与平面垂直的性质；平面与平面平行的判定．考点点评：本题考查平面与平面平行的证明，考查使得面面垂直的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)