已知异面直线a，b所成的角为50°，P为空间一定点，过点P且与a，b所成的角相等的直线有4条，则过点P的直线与直线a所成角的范围是．

Question

已知异面直线a，b所成的角为50°，P为空间一定点，过点P且与a，b所成的角相等的直线有4条，则过点P的直线与直线a所成角的范围是___．

Answer 1

过点O作a₁∥a，b₁∥b，则相交直线a₁、b₁确定一平面α．a₁与b₁夹角为50°或130°，
设直线OA与a₁、b₁均为θ角，
作AB⊥面α于点B，BC⊥a₁于点C，BD⊥b₁于点D，
记∠AOB=θ₁，∠BOC=θ₂（θ₂=25°或65°），则有cosθ=cosθ₁•cosθ₂．
因为0°≤θ₁≤90°，
所以0≤cosθ≤cosθ₂．
当θ₂=25°时，由0≤cosθ≤cos25°，得25°≤θ≤90°；
当θ₂=65°时，由0≤cosθ≤cos65°，得65°≤θ≤90°．
故当θ<25°时，直线l不存在；
当θ=25°时，直线l有且仅有1条；
当25°当θ=65°时，直线l有且仅有3条；
当65°当θ=90°时，直线l有且仅有1条．
故答案为：65°

作业帮用户 2017-02-11