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同学们已经认识了很多正多边形,现以正六边形为例再介绍与正多边形相关的几个概念.如正六边形ABCDEF各边对称轴的交点O,又称正六边形的中心,其中OA称正六边形的半径,通常用R表示,
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同学们已经认识了很多正多边形,现以正六边形为例再介绍与正多边形相关的几个概念.如正六边形ABCDEF各边对称轴的交点O,又称正六边形的中心,其中OA称正六边形的半径,通常用R表示,∠AOB称为中心角,显然.提出问题:正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径R和中心角有什么关系?
探索发现:
(1)为了解决这个问题,我们不妨从最简单的正多边形--正三角形入手.
如图①,△ABC是正三角形,半径OA=R,∠AOB是中心角,P是△ABC内任意一点,P到△ABC各边距离分别为h1、h2、h3 ,确定h1+h2+h3的值与△ABC的半径R及中心角的关系.
【解析】
设△ABC的边长是a,面积为S,显然S=a(h1+h2+h3)
O为△ABC的中心,连接OA、OB、OC,它们将△ABC分成三个全等的等腰三角形,过点O作OM⊥AB,垂足为M,Rt△AOM中,易知
OM=OAcos∠AOM=Rcos∠AOB=Rcos×120°=Rcos60°,
AM=OAsin∠AOM=Rsin∠AOB=Rsin×120°=Rcos60°
∴AB=a=2AM=2Rsin60°
∴S△AOB=AB×OM=×2Rsin60°•Rcos60°=R2sin60°cos60°
∴S△ABC=3S△AOB=3R2sin60°cos60°
∴a(h1+h2+h3)=3R2sin60°cos60°
即:×2Rsin60°(h1+h2+h3)=3R2sin60°cos60°
∴h1+h2+h3=3Rcos60°
(2)如图②,五边形ABCDE是正五边形,半径是R,P是正五边形ABCDE内任意一点,P到五边形ABCDE各边距离分别为h1、h2、h3、h4、h5,参照(1)的探索过程,确定h1+h2+h3+h4+h5的值与正五边形ABCDE的半径R及中心角的关系.
(3)类比上述探索过程,直接填写结论
正六边形(半径是R)内任意一点P到各边距离之和 h1+h2+h3+h4+h5+h6=______
正八边形(半径是R)内任意一点P到各边距离之和 h1+h2+h3+h4+h5+h6+h7+h8=______
正n边形(半径是R)内任意一点P到各边距离之和 h1+h2+…+hn=______.
探索发现:
(1)为了解决这个问题,我们不妨从最简单的正多边形--正三角形入手.
如图①,△ABC是正三角形,半径OA=R,∠AOB是中心角,P是△ABC内任意一点,P到△ABC各边距离分别为h1、h2、h3 ,确定h1+h2+h3的值与△ABC的半径R及中心角的关系.
【解析】
设△ABC的边长是a,面积为S,显然S=a(h1+h2+h3)
O为△ABC的中心,连接OA、OB、OC,它们将△ABC分成三个全等的等腰三角形,过点O作OM⊥AB,垂足为M,Rt△AOM中,易知
OM=OAcos∠AOM=Rcos∠AOB=Rcos×120°=Rcos60°,
AM=OAsin∠AOM=Rsin∠AOB=Rsin×120°=Rcos60°
∴AB=a=2AM=2Rsin60°
∴S△AOB=AB×OM=×2Rsin60°•Rcos60°=R2sin60°cos60°
∴S△ABC=3S△AOB=3R2sin60°cos60°
∴a(h1+h2+h3)=3R2sin60°cos60°
即:×2Rsin60°(h1+h2+h3)=3R2sin60°cos60°
∴h1+h2+h3=3Rcos60°
(2)如图②,五边形ABCDE是正五边形,半径是R,P是正五边形ABCDE内任意一点,P到五边形ABCDE各边距离分别为h1、h2、h3、h4、h5,参照(1)的探索过程,确定h1+h2+h3+h4+h5的值与正五边形ABCDE的半径R及中心角的关系.
(3)类比上述探索过程,直接填写结论
正六边形(半径是R)内任意一点P到各边距离之和 h1+h2+h3+h4+h5+h6=______
正八边形(半径是R)内任意一点P到各边距离之和 h1+h2+h3+h4+h5+h6+h7+h8=______
正n边形(半径是R)内任意一点P到各边距离之和 h1+h2+…+hn=______.
▼优质解答
答案和解析
(2)设正五边形的边长是a,面积为S,得到S=a(h1+h2+h3+h4+h5),O为正五边形的中心,连接OA、OB、OC、OD、OE,它们将五边形分成五个全等的等腰三角形,过点O作OQ⊥AB,垂足为Q,Rt△AOQ中表示出OQ、AQ、AB后即可表示出h1+h2+h3+h4+h5的值.
(3)利用上题总结的规律表示出其他的正多边形即可.
【解析】
(2)设正五边形的边长是a,面积为S,显然S=a(h1+h2+h3+h4+h5)
O为正五边形的中心,连接OA、OB、OC、OD、OE,它们将五边形分成五个全等的等腰三角形,
过点O作OQ⊥AB,垂足为Q,Rt△AOQ中,易知
OQ=OAcos∠AOQ=Rcos∠AOB=Rcos×72°=Rcos36°,
AQ=OAsin∠AOQ=Rsin∠AOB=Rsin×72°=Rsin36°,
∴AB=a=2AQ=2Rsin36°,
∴S△AOB=AB×OQ=×2Rsin36°•Rcos36°=R2sin36°cos36°,
∴S正五边形ABCDE=5S△AOB=5R2sin36°cos36°,
∴a(h1+h2+h3+h4+h5)=5R2sin36°cos36°,
即:×2Rsin36°(h1+h2+h3+h4+h5)=5R2sin36°cos36°,
∴h1+h2+h3+h4+h5=5Rcos36°;
(3)正六边形(半径是R)内任意一点P到各边距离之和 h1+h2+h3+h4+h5+h6=6Rcos30°,
正八边形(半径是R)内任意一点P到各边距离之和 h1+h2+h3+h4+h5+h6+h7+h8=8Rcos22.5°,
正n边形(半径是R)内任意一点P到各边距离之和 h1+h2+…+hn=nRcos.
(3)利用上题总结的规律表示出其他的正多边形即可.
【解析】
(2)设正五边形的边长是a,面积为S,显然S=a(h1+h2+h3+h4+h5)
O为正五边形的中心,连接OA、OB、OC、OD、OE,它们将五边形分成五个全等的等腰三角形,
过点O作OQ⊥AB,垂足为Q,Rt△AOQ中,易知
OQ=OAcos∠AOQ=Rcos∠AOB=Rcos×72°=Rcos36°,
AQ=OAsin∠AOQ=Rsin∠AOB=Rsin×72°=Rsin36°,
∴AB=a=2AQ=2Rsin36°,
∴S△AOB=AB×OQ=×2Rsin36°•Rcos36°=R2sin36°cos36°,
∴S正五边形ABCDE=5S△AOB=5R2sin36°cos36°,
∴a(h1+h2+h3+h4+h5)=5R2sin36°cos36°,
即:×2Rsin36°(h1+h2+h3+h4+h5)=5R2sin36°cos36°,
∴h1+h2+h3+h4+h5=5Rcos36°;
(3)正六边形(半径是R)内任意一点P到各边距离之和 h1+h2+h3+h4+h5+h6=6Rcos30°,
正八边形(半径是R)内任意一点P到各边距离之和 h1+h2+h3+h4+h5+h6+h7+h8=8Rcos22.5°,
正n边形(半径是R)内任意一点P到各边距离之和 h1+h2+…+hn=nRcos.
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