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如图,矩形ABCD中,AB=6m,AD=4m.(1)如图(1),矩形AEFN的顶点E,N分别在边AB和AD上,点F在矩形ABCD的内部,以点A为位似中心,作矩形AEFN的位似矩形AMPQ,且使得矩形的顶点P恰好落在对角线BD
题目详情
如图,矩形ABCD中,AB=6m,AD=4m.
(1)如图(1),矩形AEFN的顶点E,N分别在边AB和AD上,点F在矩形ABCD的内部,以点A为位似中心,作矩形AEFN的位似矩形AMPQ,且使得矩形的顶点P恰好落在对角线BD上;(不要求写作法)
(2)若AM=4m,求矩形AMPQ的面积;
(3)如图(2),在一个矩形空地ABCD上,王师傅准备修建一个矩形的花坛AMPQ,要求点M在AB上,点Q在AD上,设AM的长为xm,矩形AMPQ的面积为Sm2,求当x为何值时,S有最大值?并求出最大值.
(1)如图(1),矩形AEFN的顶点E,N分别在边AB和AD上,点F在矩形ABCD的内部,以点A为位似中心,作矩形AEFN的位似矩形AMPQ,且使得矩形的顶点P恰好落在对角线BD上;(不要求写作法)
(2)若AM=4m,求矩形AMPQ的面积;
(3)如图(2),在一个矩形空地ABCD上,王师傅准备修建一个矩形的花坛AMPQ,要求点M在AB上,点Q在AD上,设AM的长为xm,矩形AMPQ的面积为Sm2,求当x为何值时,S有最大值?并求出最大值.
▼优质解答
答案和解析
(1)根据位似图形的定义,连接AF并延长与BD相交于P,过P作PM∥AD交AB于M,作PQ∥AB交AD于Q,四边形AMPQ即为矩形AEFN的位似图形;
(2)先求出MB,然后根据△ABD和△MBP相似,利用相似三角形对应边成比例列出比例式求出PM,再根据矩形的面积公式列式计算即可得解;
(3)用x表示出MB=6-x,然后根据△ABD和△MBP相似,再利用相似三角形对应边成比例列出比例式求出PM,再根据矩形的面积公式列式整理,然后根据二次函数的最值问题解答.
【解析】
(1)矩形AEFN的位似矩形AMPQ如图所示;
(2)∵AB=6m,AM=4m,
∴MB=AB-AM=6-4=2m,
∵PM∥AD,
∴△ABD∽△MBP,
∴=,
即=,
解得PM=m,
∴矩形AMPQ的面积=AM•PM=4×=m2;
(3)AM=xm时,MB=AB-AM=6-x,
∵PM∥AD,
∴△ABD∽△MBP,
∴=,
即=,
解得PM=(6-x),
∴矩形AMPQ的面积为S=AM•PM=x•(6-x)=-(x2-6x+9)+6=-(x-3)2+6,
即S=-(x-3)2+6,
所以,当x=3m时,S有最大值为6m2.
(2)先求出MB,然后根据△ABD和△MBP相似,利用相似三角形对应边成比例列出比例式求出PM,再根据矩形的面积公式列式计算即可得解;
(3)用x表示出MB=6-x,然后根据△ABD和△MBP相似,再利用相似三角形对应边成比例列出比例式求出PM,再根据矩形的面积公式列式整理,然后根据二次函数的最值问题解答.
【解析】
(1)矩形AEFN的位似矩形AMPQ如图所示;
(2)∵AB=6m,AM=4m,
∴MB=AB-AM=6-4=2m,
∵PM∥AD,
∴△ABD∽△MBP,
∴=,
即=,
解得PM=m,
∴矩形AMPQ的面积=AM•PM=4×=m2;
(3)AM=xm时,MB=AB-AM=6-x,
∵PM∥AD,
∴△ABD∽△MBP,
∴=,
即=,
解得PM=(6-x),
∴矩形AMPQ的面积为S=AM•PM=x•(6-x)=-(x2-6x+9)+6=-(x-3)2+6,
即S=-(x-3)2+6,
所以,当x=3m时,S有最大值为6m2.
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