已知：线段AB=12．（1）取线段AB的三等分点，这些点连同线段AB的两个端点可以组成多少条线段，求这些线段长度的和．（2）若取线段AB的n等分点，这些连同线段AB的两个端点可以组成多少条

Question

已知：线段AB=12．
（1）取线段AB的三等分点，这些点连同线段AB的两个端点可以组成多少条线段，求这些线段长度的和．
（2）若取线段AB的n等分点，这些连同线段AB的两个端点可以组成多少条线段，并求出这些线段长度的和（用含n的式子表示）
（3）再在线段AB上取两种点：第一种线段AB的四等分点，第二种是线段AB的六等分点，这些点连同（1）中的三等分点和线段AB的两个端点可以组成多少条线段，并求出这些线段长度的和．

Answer 1

（1）取线段AB的三等分点，则线段共有4个点，从第一个点可以引出3条线段，分别是4，8，12，
从第二个点可以引出2条线段，分别是4，8，
从第三个点可以引出1条线段，是4，
∴这些点连同线段AB的两个端点可以组成1+2+3=6条线段；
这些线段长度的和：4×3+8×2+12=40=2×（3+1）×（3+2）；
（2）共组成1+2+3+4+…+n=(n(1+n))/(2)条线段，这些条线段长度的和为（n+2）（2n+2）．（6分）
（3）再在线段AB上取两种点：第一种是线段AB的四等分点D₁，D₂，D₃；第二种是线段AB的六等分点E₁，E₂．这些点连同（1）中的三等分点和线段AB的两个端点，共9个点，可以组成9×8÷2=36条线段．
以A为原点，AB为正方向，建立数轴，则各点对应的数为
A：0；B：12；C₁：4；C₂：8；D₁：2，D₂：6；D₃：9；E₁：2；E₂：10．
以A，B为端点的线段有7×2+1条，长度和=12×8=96；
不以A，B为端点，以E₁，E₂为端点的线段有5×2+1条，长度和=8×6=48；
不以A，B，E₁，E₂为端点，以D₁，D₃为端点的线段有3×2+1条，长度和=3×8=24；
不以A，B，E₁，E₂，D₁，D₂为端点，以C₁，C₂为端点的线段有1×2+1条，长度和=2×4=8．
∴这些线段的长度和=96+48+24+8=176．
共组成36条线段，这些条线段长度的和为176．