已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大．现有以下两种设计，如图：图①的过水断面为等腰△ABC，AB＝BC，过水湿周．图②的过水断面为等腰梯形

Question

已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大．现有以下两种设计，如图：  图①的过水断面为等腰△ ABC ， AB ＝ BC ，过水湿周 ．图②的过水断面为等腰梯形 ABCD ， AB ＝ CD ， AD ∥ BC ，∠ BAD ＝60°，过水湿周 ．  若△ ABC 与梯形 ABCD 的面积都为 S ，

      
图①                                     图②

（1）分别求 和 的最小值；  
（2）为使流量最大，给出最佳设计方案．

Answer 1

在图①中，设∠ ， AB ＝ BC ＝ a ．
则 ，
由于 S 、 a 、 皆为正值，可解得 ．
当且仅当 ，即 ＝90°时取等号．
所以 ， 的最小值为 ．
在图②中，设 AB ＝ CD ＝ m ， BC ＝ n ，由∠ BAD ＝60°
可求得 AD ＝ m ＋ n ， ，
解得 ． ，
的最小值为 ．
当且仅当 ，即 时取等号．
（2）由于 ，则 的最小值小于 的最小值．所以在方案②中当 取得最小值时的设计为最佳方案