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如图1,正方形ABCD和正方形QMNP,M是正方形ABCD的对称中心,MN交AB于F,QM交AD于E.(1)猜想:ME与MF的数量关系;(2)如图2,若将原题中的“正方形”改为“菱形”,且∠M=∠B,其它条件不变
题目详情
如图1,正方形ABCD和正方形QMNP,M是正方形ABCD的对称中心,MN交AB于F,QM交AD于E.
(1)猜想:ME与MF的数量关系;
(2)如图2,若将原题中的“正方形”改为“菱形”,且∠M=∠B,其它条件不变,探索线段ME与线段MF的数量关系,并加以证明;
(3)如图3,若将原题中的“正方形”改为“矩形”,且AB:BC=1:2,其它条件不变,探索线段ME与线段MF的数量关系,并说明理由;
(4)如图4,若将原题中的“正方形”改为平行四边形,且∠M=∠B,AB:BC=m,其它条件不变,求出ME:MF的值.(直接写出答案)
(1)猜想:ME与MF的数量关系;
(2)如图2,若将原题中的“正方形”改为“菱形”,且∠M=∠B,其它条件不变,探索线段ME与线段MF的数量关系,并加以证明;
(3)如图3,若将原题中的“正方形”改为“矩形”,且AB:BC=1:2,其它条件不变,探索线段ME与线段MF的数量关系,并说明理由;
(4)如图4,若将原题中的“正方形”改为平行四边形,且∠M=∠B,AB:BC=m,其它条件不变,求出ME:MF的值.(直接写出答案)
▼优质解答
答案和解析
(1)ME=MF.
(2)ME=MF.
证明:过点M作MH⊥AD于H,MG⊥AB于G,连接AM.
∵M是菱形ABCD的对称中心,
∴O是菱形ABCD对角线的交点,
∴AM平分∠BAD,
∴MH=MG.
∵∠M=∠B
,∴∠M+∠BAD=180°.
又∠MHA=∠MGF=90°,
∴∠HMG+∠BAD=180°.
∴∠EMF=∠HMG.
∴∠EMH=∠FMG.
∵∠MHE=∠MGF,
∴△MHE≌△MGF,
∴ME=MF.
(3)ME:MF=1:2
证明:过点M作MH⊥AD于H,MG⊥AB于G.
∵∠M=∠B,∴∠A=∠EMF=90°.
又∵∠MHA=∠MGA=90°,
∴∠HMG=90°.
∴∠EMF=∠HMG,∴∠EMH=∠FMG.
∵∠MHE=∠MGF,
∴△MHE∽△MGF,
∴
=
.
又∵M是矩形ABCD的对称中心,
∴M是矩形ABCD对角线的中点.
又∵MG⊥AB,
∴MG∥BC,
∴MG=
BC.
同理可得MH=
AB.
∴ME:MF=1:2.
(4)ME:MF=m.
(2)ME=MF.
证明:过点M作MH⊥AD于H,MG⊥AB于G,连接AM.
∵M是菱形ABCD的对称中心,
∴O是菱形ABCD对角线的交点,
∴AM平分∠BAD,
∴MH=MG.
∵∠M=∠B
,∴∠M+∠BAD=180°.
又∠MHA=∠MGF=90°,
∴∠HMG+∠BAD=180°.
∴∠EMF=∠HMG.
∴∠EMH=∠FMG.
∵∠MHE=∠MGF,
∴△MHE≌△MGF,
∴ME=MF.
(3)ME:MF=1:2
证明:过点M作MH⊥AD于H,MG⊥AB于G.
∵∠M=∠B,∴∠A=∠EMF=90°.
又∵∠MHA=∠MGA=90°,
∴∠HMG=90°.
∴∠EMF=∠HMG,∴∠EMH=∠FMG.
∵∠MHE=∠MGF,
∴△MHE∽△MGF,
∴
ME |
MF |
MH |
MG |
又∵M是矩形ABCD的对称中心,
∴M是矩形ABCD对角线的中点.
又∵MG⊥AB,
∴MG∥BC,
∴MG=
1 |
2 |
同理可得MH=
1 |
2 |
∴ME:MF=1:2.
(4)ME:MF=m.
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