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(2012•鼓楼区二模)如图,已知△ABC,以BC为直径,O为圆心的半圆交AC于点F,点E为弧CF的中点,连接BE交AC于点M,AD为△ABC的角平分线,且AD⊥BE,垂足为点H.(1)判断直线AB与⊙O的位置关
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(2012•鼓楼区二模)如图,已知△ABC,以BC为直径,O为圆心的半圆交AC于点F,点E为弧CF的中点,连接BE交AC于点M,AD为△ABC的角平分线,且AD⊥BE,垂足为点H.
(1)判断直线AB与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AB=3,BC=4,求BE的长.
(1)判断直线AB与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AB=3,BC=4,求BE的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)直线AB与⊙O的位置关系是相切,
理由是:连接CE,
∵BC为直径,
∴∠BEC=90°,
∵AD⊥BE,
∴AD∥EC,
∴∠ACE=∠CAD,
∵弧EF=弧CE,
∴∠FCE=∠CBE,
∴∠CAD=∠CBE,
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD,
∴∠CBE=∠BAD,
∴∠BAD+∠ABE=90°,
∴∠CBE+∠ABE=90°,
即∠ABC=90°,
又∵AB经过直径的外端,
∴AB是圆O的切线.
(2)∵AB=3,BC=4.由(1)知,△ABC是直角三角形,由勾股定理得:AC=5.
在△ABM中,AD⊥BM于H,AD平分∠BAC,
∴AM=AB=3,
∴CM=2,
∵∠E=∠E,∠ECM=∠EBC,
∴△CME∽△BCE,
∴
=
=
,
∴EB=2EC,
在Rt△BEC中,由勾股定理得:BE2+CE2=BC2=16,
∴BE=
.
理由是:连接CE,
∵BC为直径,
∴∠BEC=90°,
∵AD⊥BE,
∴AD∥EC,
∴∠ACE=∠CAD,
∵弧EF=弧CE,
∴∠FCE=∠CBE,
∴∠CAD=∠CBE,
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD,
∴∠CBE=∠BAD,
∴∠BAD+∠ABE=90°,
∴∠CBE+∠ABE=90°,
即∠ABC=90°,
又∵AB经过直径的外端,
∴AB是圆O的切线.
(2)∵AB=3,BC=4.由(1)知,△ABC是直角三角形,由勾股定理得:AC=5.
在△ABM中,AD⊥BM于H,AD平分∠BAC,
∴AM=AB=3,
∴CM=2,
∵∠E=∠E,∠ECM=∠EBC,
∴△CME∽△BCE,
∴
EC |
EB |
MC |
CB |
1 |
2 |
∴EB=2EC,
在Rt△BEC中,由勾股定理得:BE2+CE2=BC2=16,
∴BE=
8 |
5 |
5 |
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