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(2010•江西)正实数数列{an}中,a1=1,a2=5,且{an2}成等差数列.(1)证明数列{an}中有无穷多项为无理数;(2)当n为何值时,an为整数,并求出使an<200的所有整数项的和.
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(2010•江西)正实数数列{an}中,a1=1,a2=5,且{an2}成等差数列.
(1)证明数列{an}中有无穷多项为无理数;
(2)当n为何值时,an为整数,并求出使an<200的所有整数项的和.
(1)证明数列{an}中有无穷多项为无理数;
(2)当n为何值时,an为整数,并求出使an<200的所有整数项的和.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:由已知有:an2=1+24(n-1),从而an=
,
方法一:取n-1=242k-1,则an=
(k∈N+)
用反证法证明这些an都是无理数.
假设an=
为有理数,则an必为正整数,且an<24k,
故an-24k≥1.an-24k>1,与(an-24k)(an+24k)=1矛盾,
所以an=
(k∈N+)都是无理数,即数列an中有无穷多项为无理数;
(2)要使an为整数,由(an-1)(an+1)=24(n-1)可知:
an-1,an+1同为偶数,且其中一个必为3的倍数,所以有an-1=6m或an+1=6m
当an=6m+1时,有an2=36m2+12m+1=1+12m(3m+1)(m∈N)
又m(3m+1)必为偶数,所以an=6m+1(m∈N)满足an2=1+24(n-1)
即n=
+1(m∈N)时,an为整数;
同理an=6m-1(m∈N+)有an2=36m2-12m+1=1+12(3m-1)(m∈N+)
也满足an2=1+24(n-1),即n=
+1(m∈N+)时,an为整数;
显然an=6m-1(m∈N+)和an=6m+1(m∈N)是数列中的不同项;
所以当n=
+1(m∈N)和n=
+1(m∈N+)时,an为整数;
由an=6m+1<200(m∈N)有0≤m≤33,
由an=6m-1<200(m∈N+)有1≤m≤33.
设an中满足an<200的所有整数项的和为S,则
S=(5+11+…+197)+(1+7+…+199)=
×33+
×34=6733
1+24(n−1) |
方法一:取n-1=242k-1,则an=
1+242k |
用反证法证明这些an都是无理数.
假设an=
1+242k |
故an-24k≥1.an-24k>1,与(an-24k)(an+24k)=1矛盾,
所以an=
1+242k |
(2)要使an为整数,由(an-1)(an+1)=24(n-1)可知:
an-1,an+1同为偶数,且其中一个必为3的倍数,所以有an-1=6m或an+1=6m
当an=6m+1时,有an2=36m2+12m+1=1+12m(3m+1)(m∈N)
又m(3m+1)必为偶数,所以an=6m+1(m∈N)满足an2=1+24(n-1)
即n=
m(3m+1) |
2 |
同理an=6m-1(m∈N+)有an2=36m2-12m+1=1+12(3m-1)(m∈N+)
也满足an2=1+24(n-1),即n=
m(3m−1) |
2 |
显然an=6m-1(m∈N+)和an=6m+1(m∈N)是数列中的不同项;
所以当n=
m(3m+1) |
2 |
m(3m−1) |
2 |
由an=6m+1<200(m∈N)有0≤m≤33,
由an=6m-1<200(m∈N+)有1≤m≤33.
设an中满足an<200的所有整数项的和为S,则
S=(5+11+…+197)+(1+7+…+199)=
5+197 |
2 |
1+199 |
2 |
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