观察下列各等式（i为虚数单位）：（cos1+isin1）（cos2+isin2）=cos3+isin3；（cos3+isin3）（cos5+isin5）=cos8+isin8；（cos4+isin4）（cos7+isin7）=cos11+isin11；（cos6+isin6）（cos6+isin6）=cos12+isin12．记f（x）=cosx

Question

观察下列各等式（i为虚数单位）：
（cos1+isin1）（cos2+isin2）=cos3+isin3；
（cos3+isin3）（cos5+isin5）=cos8+isin8；
（cos4+isin4）（cos7+isin7）=cos11+isin11；
（cos6+isin6）（cos6+isin6）=cos12+isin12．
记f（x）=cosx+isinx．
（1）猜想出一个用 f（x），f（y），f（x+y）表示的反映一般规律的等式，并证明其正确性；
（2）根据（1）的结论推出f ⁿ（x）的表达式；
（3）利用上述结论计算：（cos(π)/(12)+isin(π)/(12)）•（cos(5π)/(12)+isin(5π)/(12)）+（(√(3))/(2)+(1)/(2)i）²⁰⁰⁷．

Answer 1

（1）f（x）f（y）=f（x+y）．…..（2分）
证明：f（x）f（y）=（cos x+isin x）（cos y+isin y）
=（cos xcos y-sin xsin y）+（sin xcos y+cos xsin y）i
=cos（x+y）+isin（x+y）
=f（x+y）．…ks5u…（5分）
（2）∵f（x）f（y）=f（x+y），
∴fⁿ（x）=f（x）•f（x）…f（x）=f（nx）=cosnx+isinnx．…．（8分）
（3）（cos(π)/(12)+isin(π)/(12)）•（cos(5π)/(12)+isin(5π)/(12)）+（(√(3))/(2)+(1)/(2)i）²⁰⁰⁷
=（cos(π)/(2)+isin(π)/(2)）+（cos(2007π)/(6)+isin(2007π)/(6)）
=i+（cos(669π)/(2)+isin(669π)/(2)）=2i…（12分）