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在数列{an}中,a1=1,an+1=(1+1/n)an+(n+1)∕2n设bn=an/n,求证bn+1-bn=1/2^nbn的通项公式an+1=(1+1/n)an+(n+1)∕2n变形可得:a(n+1)/(n+1)-an/n=1/2^nan/n-a(n-1)/(n-1)=1/2^(n-1).a2/2-a1/1=1/2等式两边累加可得:an/n-a1
题目详情
在数列{an}中,a1=1,an+1=(1+1/n)an+(n+1)∕2n 设bn=an/n,求证bn+1-bn=1/2^n bn的通项公式
an+1=(1+1/n)an+(n+1)∕2n
变形可得:a(n+1)/(n+1)-an/n=1/2^n
an/n-a(n-1)/(n-1)=1/2^(n-1)
.
a2/2-a1/1=1/2
等式两边累加可得:
an/n-a1/1=1/2+.+1/2^(n-1)
所以bn=an/n=a1/1+1/2+.+1/2^(n-1)=2-1/2^(n-1)(等比数列求和)
b(n+1)=1+1/2+.+1/2^(n-1)+1/2^n
b(n+1)-bn=(1/2)^n
an+1=(1+1/n)an+(n+1)∕2n
变形可得:a(n+1)/(n+1)-an/n=1/2^n
an/n-a(n-1)/(n-1)=1/2^(n-1)
.
a2/2-a1/1=1/2
等式两边累加可得:
an/n-a1/1=1/2+.+1/2^(n-1)
所以bn=an/n=a1/1+1/2+.+1/2^(n-1)=2-1/2^(n-1)(等比数列求和)
b(n+1)=1+1/2+.+1/2^(n-1)+1/2^n
b(n+1)-bn=(1/2)^n
▼优质解答
答案和解析
an+1=(1+1/n)an+(n+1)∕2n
an+1=(n+1)/n* an+(n+1)/2^n,
两边同除以(n+1)可得:a(n+1)/(n+1)-an/n=1/2^n
因为bn=an/n
所以b(n+1)-bn=1/2^n
则有:
b(n+1)-bn=1/2^n
bn-b(n-1)=1/2^(n-1)
………………
b2-b1=1/2
等式两边累加可得:
b(n+1)-b1=1/2+.+1/2^(n-1)+1/2^n,
因为a1=1,所以b1=a1/1=1,
所以:
b(n+1)-1=1/2+.+1/2^(n-1) +1/2^n,
b(n+1)=1+1/2+.+1/2^(n-1) +1/2^n,
b(n+1)=(1-(1/2)^(n+1))/(1-1/2),
b(n+1)= 2-1/2^n,
∴bn=2-1/2^(n-1).
an+1=(n+1)/n* an+(n+1)/2^n,
两边同除以(n+1)可得:a(n+1)/(n+1)-an/n=1/2^n
因为bn=an/n
所以b(n+1)-bn=1/2^n
则有:
b(n+1)-bn=1/2^n
bn-b(n-1)=1/2^(n-1)
………………
b2-b1=1/2
等式两边累加可得:
b(n+1)-b1=1/2+.+1/2^(n-1)+1/2^n,
因为a1=1,所以b1=a1/1=1,
所以:
b(n+1)-1=1/2+.+1/2^(n-1) +1/2^n,
b(n+1)=1+1/2+.+1/2^(n-1) +1/2^n,
b(n+1)=(1-(1/2)^(n+1))/(1-1/2),
b(n+1)= 2-1/2^n,
∴bn=2-1/2^(n-1).
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