在平面直角坐标系xoy中,O为坐标原点,动点P与两个定点M（1,0）,N（4,0）的距离之比为1/2.求若直线y=kx+3与曲线W交于A,B两点,在曲线W上是否存在一点Q,使得向量OQ=OA+OB,若存在,求出此时的直线l的斜

Question

在平面直角坐标系xoy中,O为坐标原点,动点P与两个定点M（1,0）,N（4,0）的距离之比为1/2.求若直线
y=kx+3与曲线W交于A,B两点,在曲线W上是否存在一点Q,使得向量OQ=OA+OB,若存在,求出此时的直线l的斜率；若不,说明理由.

Answer 1

设动点P的坐标为（X,Y）,则由已知有：根号下[（X-1）的方+Y的方]/根号下[（X-4）的方+Y的方]=1/2,化简得：X的方+Y的方=4———（1）,若曲线W的方程为（1）,与曲线W交于A、B两点的直线为：Y=KX+3———（2）,假设在曲线W上存在一点Q,使得向量OQ=OA+OB,设A、B两点的坐标分别为（X1,Y1）、（X2,Y2）,则Q点的坐标为（X1+X2,Y1+Y2）,解由（1）、（2）组成的方程组得：X1+X2=-6*K/（1+K的方）,Y1+Y2=6/（1+K的方）,由于向量OQ=OA+OB,所以Q点的坐标为[-6*K/（1+K的方）,6/（1+K的方）],由于Q点在曲线W上,所以：[-6*K/（1+K的方）]的方+[6/（1+K的方）]的方=4,解之得K=2倍的根号下2,K=-（2倍的根号下2）