（2014•滨州二模）已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R，（Ⅰ）若a≤-12，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若a=-1，对任意的x∈（-∞，0），都有f（x）＞13x3+12x2+m，求实数m

Question

（2014•滨州二模）已知函数f（x）=（ax²+x-1）e^x，其中e是自然对数的底数，a∈R，
（Ⅰ）若a≤-(1)/(2)，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a=-1，对任意的x∈（-∞，0），都有f（x）＞(1)/(3)x³+(1)/(2)x²+m，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=（2ax-2）•e^x+（x²-2x+1）•e^x=（ax²+2ax+x）e^x=[x（ax+2a+1）]e^x，
令f′（x）=0，得x=0，或x=-(2a+1)/(a)=-2-(1)/(a)，
①若a=-(1)/(2)，f′（x）=-(1)/(2)x²e^x≤0，函数f（x）在R上单调递减，
②若a＜-(1)/(2)，当x∈（-∞，-2-(1)/(a)）和（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（-2-(1)/(a)，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
综上所述，当a=-(1)/(2)，函数f（x）在R上单调递减，
当a＜-(1)/(2)，函数f（x）在x∈（-∞，-2-(1)/(a)）和（0，+∞）时，函数f（x）单调递减，在（-2-(1)/(a)，0）时，函数f（x）单调递增；
（Ⅱ）当a=-1时，
∴f′（x）=-x（x+1）e^x，
∴函数f（x）在（-1，0）上单调递增，在（-∞，-1）上单调递减，
∴f（x）在x=-1处取得最小值，最小值为f（-1）=-(3)/(e)，
设g（x）=(1)/(3)x³+(1)/(2)x²+m，
则g′（x）=x²+x，
当x＜-1时，g′（x）＞0，当-1＜x＜0时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，0）上单调递增，
故g（x）在x=-1时取得最大值，最大值为g（-1）=(1)/(6)+m，
由题意可知−(3)/(e)＞(1)/(6)+m，
∴m＜-(1)/(6)−(3)/(e)
故实数m的取值范围为（-∞，-(1)/(6)−(3)/(e)）