设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+a-1x-3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（ex）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）

Question

设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+(a-1)/(x)-3（a∈R）．
（1）当a=2时，解关于x的方程g（e^x）=0（其中e为自然对数的底数）；
（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；
（3）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．

Answer 1

（1）当a=2时，g（x）=0，可得x=(1)/(2)或1，
g（e^x）=0，可得e^x=(1)/(2)或e^x=1，
∴x=-ln2或0；
（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+(a-1)/(x)-3，φ′（x）=([ax-(a-1)](x+1))/(x2)
①a=0，φ′（x）=(x+1)/(x2)>0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；
②a=1，φ′（x）=(x+1)/(x2)•x>0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；
③0<a<1，x=(a-1)/(a)<0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；
④a>1，x=(a-1)/(a)>0，函数的单调递增区间是（(a-1)/(a)，+∞）；
⑤a<0，x=(a-1)/(a)>0，函数的单调递增区间是（0，(a-1)/(a)）；
（3）a=1，h（x）=（x-3）lnx，h′（x）=lnx-(3)/(x)+1，
h″（x）=(1)/(x)+(3)/(x2)>0恒成立，∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴存在x₀，h′（x₀）=0，即lnx₀=-1+(3)/(x0)，
h（x）在（0，x₀）上单调递减，（x₀，+∞）上单调递增，
∴h（x）_min=h（x₀）=-（x₀+(9)/(x0)）+6，
∵h′（1）<0，h′（2）>0，∴x₀∈（1，2），
∴h（x）不存在最小值，
∴不存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解．