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已知函数f(x)=ax2-gx(a∈R),f′(x)是f(x)的导函数(g为自然对数的底数)(Ⅰ)解关于x的不等式:f(x)>f′(x);(Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1,x2,求实数a的取值范
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已知函数f(x)=ax 2 -g x (a∈R),f′(x)是f(x)的导函数(g为自然对数的底数) (Ⅰ)解关于x的不等式:f(x)>f′(x); (Ⅱ)若f(x)有两个极值点x 1 ,x 2 ,求实数a的取值范围. |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)求导数可得f′(x)=2ax-g x ,∴f(x)-f′(x)=ax(x-2)…(4分) 原不等式等价于f(x)-f′(x)=ax(x-2)>0, 当a=0时,无解; …(5分) 当a>0时,解集为{x|x<0,或x>2}; …(6分) 当a<0时,解集为{x|0<x<2} …(7分) (Ⅱ)设g(x)=f′(x)=2ax-g x , 则x 1 ,x 2 是方程g(x)=0的两个根,则g′(x)=2a-g x …(9分) 若a≤0时,g′(x)<0恒成立,g(x)单调递减,方程g(x)=0不可能有两个根…(11分) 若a>0时,由g′(x)=0,得x=ln2a, 当x∈(-∞,ln2a)时,g′(x)>0,g(x)单调递增, 当x∈(ln2a,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调递减 …(13分) ∴g max (x)=g(ln2a)=2aln2a-2a>0,解得a>
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