已知函数f(x)=ln(x+1)-ax+(a≥)，(1)当曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线l：y=-2x+1平行时，求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间。

Question

已知函数f(x)=ln(x+1)-ax+ (a≥ )，
(1)当曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线l：y=-2x+1平行时，求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间。

Answer 1

，
(1)由题意可得 ，解得a=3，
因为f(1)=ln2-4，此时在点(1，f(1))处的切线方程为y-(ln2-4)=-2(x-1)，即y=-2x+ln2-2，
与直线l:y=-2x+1平行，故所求a的值为3．
(2)令f′(x)=0，得到 ，
由 可知 ，即x ₁ ≤0，
①当 时， ，
所以， ，
故f(x)的单调递减区间为(-1，+∞)．
②当 时， ，即-1＜x ₁ ＜0=x ₂ ，
所以，在区间 和(0，+∞)上，f′(x)＜0；
在区间 上，f′(x)＞0，
故f(x)的单调递减区间是 和(0，+∞)，单调递增区间是 ；
③当a≥1时， ，
所以，在区间(-1，0)上，f′(x)＞0；在区间(0，+∞)上，f′(x)＜0，
故f(x)的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞)；
综上讨论可得：当 时，函数f(x)的单调递减区间是(-1，+∞)；
当 时，函数f(x)的单调递减区间是 和(0，+∞)，单调递增区间是 ；
当a≥1时，函数f(x)的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞)．