函数f（x）=ax2+1，x≥0(a+2)eax，x＜0为R的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[-1，0）C．（-2，0）D．（-∞，-2）

Question

函数f（x）=

ax2+1，x≥0

(a+2)eax，x＜0

为R的单调函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0，+∞）
B．[-1，0）
C．（-2，0）
D．（-∞，-2）

Answer 1

f′（x）=

2ax	x≥0
a(a+2)eax	x＜0

；
∴（1）若a＞0，x≥0时，f′（x）≥0，即函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且ax²+1≥1；要使f（x）在R上为单调函数，则x＜0时，a（a+2）＞0，
∵a＞0，∴解得a＞0，并且（a+2）e^ax＜a+2，
∴a+2≤1，解得a≤-1，不符合a＞0，
∴这种情况不存在；
（2）若a＜0，x≥0时，f′（x）≤0，即函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且ax²+1≤1；要使f（x）在R上为单调函数，则x＜0时，a（a+2）＜0，解得-2＜a＜0，并且（a+2）e^ax＞a+2，
∴a+2≥1，解得a≥-1，∴-1≤a＜0；
综上得a的取值范围为[-1，0）．
故选：B．