设AX=b为三元非齐次线性方程组,R(A)=1,且X1=(1,0,2)^T,X2=(-1,2,-1)^T,X3=(1,0,0)^T为AX=b的三个解向量,求AX=0的基础解系,求AX=b的通解,求满足上述要求的一个非齐次线性方程组.

Question

设AX=b为三元非齐次线性方程组,R(A)=1,且X1=(1,0,2)^T,X2=(-1,2,-1)^T,X3=(1,0,0)^T为AX=b的三个解向量,求
AX=0的基础解系,求AX=b的通解,求满足上述要求的一个非齐次线性方程组.

Answer 1

既然r(A)=1,因此Ax＝0的基础解系应含有两个线性无关的向量.
而X1－X2＝（2,－2,3）^T,x1－x3＝（0,0,2）^T是两个线性无关的解向量,因此
是基础解系.
于是Ax＝b的通解为x1+k1(x1－x2)+k2(x1－x3)=(1+2k1,－2k1,2+3k1+2k2)^T.
比如取A＝（1 ,1,0）,b＝1即可.就是一个方程三个未知数的方程：
x1+x2=1.