椭圆Ex^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1.F2,已知椭圆E上任一点P,满足向量PF1·向量PF2大于等于0.5a^2.过F1做垂直与椭圆长轴的弦长为3求椭圆E的方程若过F1的直线交椭圆于A,B两点,求向量F2A乘

Question

椭圆Ex^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的左右焦点分别为F1.F2,已知椭圆E上任一点P,满足向量PF1·向量PF2大于等于0.5a^2.过F1做垂直与椭圆长轴的弦长为3
求椭圆E的方程
若过F1的直线交椭圆于A,B两点,求向量F2A乘于F2B的范围

Answer 1

椭圆E：x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2,已知椭圆E上任一点P,满足向量PF1•向量PF2≥0.5a².过F1作垂直与椭圆长轴的弦长为3,求椭圆E的方程.若过F1的直线交椭圆于A、B两点,求向量F2A•向量F2B的范围
1、设P点的坐标为(xo,yo),则
向量PF1= (-c-xo,-yo),向量PF2= (c-xo,-yo)
所以向量PF1•向量PF2= (-c-xo,-yo)(c-xo,-yo)=xo²-c²+yo²
因为点P(xo,yo)在椭圆上,所以xo²/a²+yo²/b²=1,变形得yo²=(1-xo²/a²)b²,代入上式得
向量PF1•向量PF2=xo²-c²+(1-xo²/a²)b²=(c²/a²)xo²+b²-c²≥b²-c²
依题意有b²-c²=0.5a²,变形得b²-(a²-b²)=0.5a²,即
4b²=3a² …………①
对椭圆方程,令x=-c,解得y=±b²/a,依题意,过F1作垂直与椭圆长轴的弦长为3,所以
2b²/a=3 …………②
①②联立解得a=2,b=√3
所以椭圆的方程为x²/4+y²/3=1
2、设A(x1,y1),B(x1,y1),当直线AB的斜率存在时,设斜率为k,k∈(-∞,+ ∞).容易算得c=1,所以F1 (-1,0),F2 (1,0)
则向量F2A= (x1-1,y1),向量F2B= (x2-1,y2)
所以向量F2A•向量F2B= (x1-1,y1),向量F2B= (x2-1,y2)
由点斜式可写出AB的直线方程为
y=k(x+1)
将其与椭圆方程联立消y得
(4k²+3)x²+8k²x+(4k²-12)=0
由韦达定理有
x1+x2= -8k²/(4k²+3)
x1x2=(4k²-12)/(4k²+3)
进而y1y2= k(x1+1)*k(x2+1)=k²[x1x2+(x1+x2)+1]
所以向量F2A•向量F2B
=(x1-1,y1)(x2-1,y2)
= (x1-1)(x2-1)+y1y2
= (x1-1)(x2-1)+ k²[x1x2+(x1+x2)+1]
=(k²+1)(1+x1x2)+(k²-1)(x1+x2)
=(k²+1)[1+(4k²-12)/(4k²+3)]+(k²-1)[-8k²/(4k²+3)]
=(7k²-9)/(4k²+3)
=(7/4)-[57/(16k²+12)]
因为k²≥0,所以可算出所以-3≤向量F2A•向量F2B