y=xarctanx的渐近线怎么求

Question

y=xarctanx的渐近线怎么求

Answer 1

x=0,y=0,图象一支过坐标原点；仅考虑反三角函数取值在-л/2≦arctanx≦л/2的情况(其它处类似)；
lim(y/x)=lim[arctan(x)]=±л/2,渐近线斜率为±л/2；
或由y'=arctan(x)+x/(1+x^2)确定当时x→±∝,y'→±л/2；
设渐线方程为 y=(x-b)*л/2（或y=-(x+b)*л/2)）,则对任意x,应有(x-b)*л/2x-2xarctan(x)/л；
如果函数 f(x)=x-2xarctan(x)/л有极大值,以此作为b；
x=0,f(x)=0；x>0,f(x)>0；
因f'(x)=1-2[arctan(x)+x/(1+x^2)]/л>0；函数单调递增,极大值时x→∝；
x→∝,lim[x-2xarctan(x)/л]=lim[{[1-2arctan(x)л/2]/(1/x)}=lim{[-2/(1+x^2)/л]/[-1/x^2]}=2/л；
所以b=2/л；
渐近线方程：y=лx/2-1；
另有关于y轴对称的渐近线：y=-лx/2-1；
若考虑反三角函数的多值性,y=xarctan(x)的渐近线有无数条,相邻两条线斜率相差л,均过(0,-1)点；