（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，在椭圆C上，A，B为椭圆C的左、右顶点．(1)求椭圆C的方程：(2)若P是椭圆上异于A，B的动点，连结AP，PB并延长，分别与右准线相交于M1，M2.

Question

（本小题满分12分）已知椭圆 的离心率为 ， 在椭圆C上，A，B为椭圆C的左、右顶点．
(1)求椭圆C的方程：
(2)若P是椭圆上异于A，B的动点，连结AP，PB并延长，分别与右准线 相交于M ₁ ，M2.问是否存在x轴上定点D，使得以M ₁ M ₂ 为直径的圆恒过点D?若存在，求点D的坐标：若不存在，说明理由．

Answer 1

（1） （2）存在 或 ，使得以 为直径的圆恒过点

试题分析：（1）因为离心率为 ， 在椭圆上.所以利用待定系数法求出长半轴的长 和短半轴的长 .从而写出椭圆的标准方程.本小题要求解方程组能力较强.虽然本小题属于较基础的题目，但是运算也是这道题难点，否则会影响到下一题的得分.
（2）通过假设 的坐标，写出直线 .并求出它们与准线方程的交点坐标.如果存在 则点 是在以线段 为直径的圆上，所以通过向量的垂直可得一个关于 的等式.又因为 符合椭圆的方程.所以可以求出结论.
试题解析：（1）由 得： ， ，        1分
从而有：
又 在椭圆 上，故有 ，解得
所以，椭圆 的方程为： .        4分
（2）设 ，由（1）知： .
则直线 的方程为： ，由 得 所以 ；
同理得： . 6分
假设存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，即： .
又 在椭圆 上，∴ ∴  .         10分
代入上式得

作业帮用户 2017-10-31

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