已知椭圆，双曲线与具有相同的焦点，且离心率互为倒数．①求双曲线的方程；②圆与两曲线、交点一共有且仅有四个，求r的取值范围；是否存在r，使得顺次连接这四个交点所得到的四边

Question

已知椭圆，双曲线与具有相同的焦点，且离心率互为倒数．
①求双曲线的方程；
②圆与两曲线、交点一共有且仅有四个，求r的取值范围；是否存在r，使得顺次连接这四个交点所得到的四边形是正方形？____

Answer 1

【分析】①依题意，设双曲线C₂的方程为(a>0，b>0)，由双曲线C₂与C₁具有相同的焦点，且离心率互为倒数，知，由此可求出双曲线C₂的方程．
②椭圆C₁的顶点为A(±4，0)、，双曲线C₂的顶点为M(±1，0)，椭圆C₁与双曲线C₂的交点为N(±2，±3)，．所以圆C与两曲线C₁、C₂有且仅有四个交点，再运用曲线的对称性将问题转化从而简化计算．

①依题意，设双曲线C₂的方程为(a>0，b>0)
椭圆C₁的离心率为，焦点为F(±2，0)，
所以，
解得a=1，c=2，．
②椭圆C₁的顶点为A(±4，0)、，双曲线C₂的顶点为M(±1，0)，椭圆C₁与双曲线C₂的交点为N(±2，±3)，．
所以圆C与两曲线C₁、C₂有且仅有四个交点，
当且仅当或或r>4．
直线y=±x与椭圆C₁的交点为，，
因为，且，
所以，以O为圆心、|OP|为半径的圆与两曲线C₁、C₂的交点不只四个，不合要求．
直线y=±x与双曲线C₂的交点为，，，符合要求，
即时，交点有且仅有四个，顺次连接这四个交点所得到的四边形是正方形．

【点评】本题是椭圆、双曲线与圆的综合，解题要求先用待定系数法求轨迹方程，再数形结合讨论曲线的几何性质，第②问关键是运用曲线的对称性将问题转化从而简化计算．另外，圆锥曲线的一些数量关系常用向量表示：设椭圆C₁的两个焦点为F₁、F₂，动点P满足，则动点轨迹也是曲线C₂．