已知椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)过点P(1,根2/2),离心率e=根2/2过点M（0,2）的直线l与过点M（0,2）的直线l与椭圆E相交于A,B两点①当直线OA,OB的斜率之和为4/3时（其中O为坐标原点）,求直线l的斜率k

Question

已知椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)过点P(1,根2/2),离心率e=根2/2 过点M（0,2）的直线l与
过点M（0,2）的直线l与椭圆E相交于A,B两点
①当直线OA,OB的斜率之和为4/3时（其中O为坐标原点）,求直线l的斜率k
②求向量MA*MB的取值范围

Answer 1

易得,椭圆方程为：x²/2+y²=1
设A(x1,y1),B(x2,y2)
K(OA)+K(OB)=4/3
即：y1/x1+y2/x2=4/3 ①
l：y=kx+2
则：y1=kx1+2,y2=kx2+2
1、
代入①得：k+2/x1+k+2/x2=4/3
整理得：(x1+x2)/x1x2=2/3-k ②
y=kx+2代入椭圆方程得：x²/2+(kx+2)²=1
即：(1/2+k²)x²+4kx+3=0
x1+x2=-4k/(1/2+k²),x1x2=3/(1/2+k²)
代入②得：-4k/3=2/3-k
-4k=2-3k
得：k=-2

2、
由1的方程：(1/2+k²)x²+4kx+3=0
△=16k²-12(1/2+k²)>0
4k²-6>0
k²>3/2
向量MA=(x1,y1-2),向量MB=(x2,y2-2)
所以,向量MA*MB=x1x2+(y1-2)(y2-2)
y1=kx1+2,y2=kx2+2
y1-2=kx1,y2-2=kx2
所以,(y1-2)(y2-2)=k²x1x2
则向量MA*MB=(k²+1)x1x2
由1知x1x2=3/(1/2+k²)=6/(2k²+1)
所以,向量MA*MB=(k²+1)x1x2=6(k²+1)/(2k²+1)
分离常数,上式=[3(2k²+1)+3]/(2k²+1)=3+3/(2k²+1)
因为k²>3/2,所以：2k²+1>4
则：0