某几何体的一条棱长为根号7,在该几何体的正视图和左视图中,这条棱的投影是长分别为根号6和根号5的线段,则在该几何体的俯视图中,这条棱的投影是长为多少的线段?答案是根号3

Question

某几何体的一条棱长为根号7,在该几何体的正视图和左视图中,这条棱的投影是长分别为根号6和根号5的线段,则在该几何体的俯视图中,这条棱的投影是长为多少的线段?【答案是根号3

Answer 1

以该棱为体对角线构建一个长方体,设长方体长高宽分别为x,y,z
则该棱（也就是长方体的体对角线）的三视图中的投影分别是长方体后面,下面,右面三个侧面的对角线,所以可得到下列关系式
x^2+y^2+z^2=7
x^2+y^2=6
y^2+z^2=5
x^2+z^2=t^2,其中t就是俯视图中棱的射影长,也就是下面那个面的对角线
将后三式相加得到2（x^2+y^2+z^2）=11+t^2=14
所以t=根号3