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求证:当p.q都是奇数时,方程x^2+2px+2p=0(p^2-2p>0)的根都是无理数(用反证法)
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求证:当p.q都是奇数时,方程x^2+2px+2p=0(p^2-2p>0)的根都是无理数(用反证法)
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答案和解析
貌似后一个p应为q吧假设存在有理根则由求根公式得根:(-2p+√((2p)2-4*2q))/2与(-2p-√((2p)2-4*2q))/2中至少有一个为有理数∴√((2p)2-4*2q)为有理数即存在有理数a使:(2p)2-4*2q=a2p,q奇数a整数化简方程:4*p2-4*2q=a2∴可设a=2b∴p2-2q=b2∴p2-b2=2q∴(p-b)(p+b)=2q若b奇数,则p-b,p+b偶数,则2q=(p-b)(p+b)为4的倍数,q为偶数,矛盾若b偶数,则p-b,p+b奇数,则2q=(p-b)(p+b)为奇数,矛盾
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