（1）求证：a5+b5≥a2b3+a3b2，（a，b∈R+）；（2）用反证法证明：若a，b，c均为实数，且a＝x2−2y+π2，b＝y2−2z+π3，c＝z2−2x+π6，求证a，b，c中至少有一个大于0．

Question

（1）求证：a⁵+b⁵≥a²b³+a³b²，（a，b∈R₊）；
（2）用反证法证明：若a，b，c均为实数，且a＝x2−2y+(π)/(2)，b＝y2−2z+(π)/(3)，c＝z2−2x+(π)/(6)，求证a，b，c中至少有一个大于0．

Answer 1

证明：（1）∵a，b∈R₊，且a⁵+b⁵-（ a²b³+a³b² ）=a²（a³-b³）+b²（b³-a³）=（a³-b³）（a²-b²），
当a≥b＞0时，（a³-b³）≥0，（a²-b²）≥0，∴（a³-b³）（a²-b²）≥0，
故 a⁵+b⁵≥a²b³+a³b² ．
当b≥a＞0时，（a³-b³）≤0，（a²-b²）≤0，∴（a³-b³）（a²-b²）≥0，
故 a⁵+b⁵≥a²b³+a³b² ．
（2）假设a、b、c都小于或等于0，则有a+b+c=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3≤0，
故 （x-1）²+（y-1）²+（z-1）²≤3-π＜0，矛盾，故假设不成立，
即a，b，c中至少有一个大于0．