已知圆C1：x2+y2−2x−4y+4＝0（Ⅰ）若直线l：x+2y-4=0与圆C1相交于A，B两点．求弦AB的长；（Ⅱ）若圆C2经过E（1，-3），F（0，4），且圆C2与圆C1的公共弦平行于直线2x+y+1=0，求圆C2的方程．（Ⅲ）

Question

已知圆C1：x2+y2−2x−4y+4＝0
（Ⅰ）若直线l：x+2y-4=0与圆C₁相交于A，B两点．求弦AB的长；
（Ⅱ）若圆C₂经过E（1，-3），F（0，4），且圆C₂与圆C₁的公共弦平行于直线2x+y+1=0，求圆C₂的方程．
（Ⅲ）求证：不论实数λ取何实数时，直线l₁：2λx-2y+3-λ=0与圆C₁恒交于两点，并求出交点弦长最短时直线l₁的方程．

Answer 1

（Ⅰ）圆C1：x2+y2−2x−4y+4＝0化为（x-1）²+（y-2）²=9，圆心坐标（1，2），半径为：r=3．
圆心到直线l的距离 d＝(|1+4−4|)/(√(1+22))＝(√(5))/(5)，-------------------（2分），
圆心到直线的距离d，半径r，半弦长满足勾股定理，
所以|AB|＝2√(1−(1)/(5))＝(4√(5))/(5)．-----------------------------（4分）
（Ⅱ）解法一：设圆C₂的一般方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则公共弦所在的直线方程为：（D+2）x+（E+2）y+F=0，
所以(D+2)/(2)＝(E+4)/(1)，即D=2E+6---------------------------------（6分）
又因为圆C₂经过E（1，-3），F（0，4），
所以

1+9+D−3E+F＝0

16+4E+F＝0

D＝2E+6

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作业帮用户 2017-09-18

问题解析

（Ⅰ）通过圆心到直线的距离，半径，半弦长满足勾股定理，求出弦AB的长；
（Ⅱ）法一：设出圆C₂的方程，利用直线的平行的充要条件，以及圆经过的两个点得到方程组求法即可．
法二：设出圆心坐标，利用圆经过的两个点距离相等，圆心的连线与弦长所在直线垂直，列出方程组即可求出圆的方程．
（Ⅲ）求出直线l₁：2λx-2y+3-λ=0恒过的定点在圆C₁内，判断弦长最短时直线l₁的斜率，然后求出方程．

名师点评

本题考点：

直线与圆的位置关系；圆的标准方程．

考点点评：

本题考查圆的方程的求法圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．

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