已知函数f（x）=2x3+ax与g（x）=bx2+cx图象都过点P（2，0）且在点P处有公切线，求（1）f（x）和g（x）的表达式及公切线方程；（2）若F(x)=f′(1)lnx+g(x)16，求F（x）的单调区间．

Question

已知函数f（x）=2x³+ax与g（x）=bx²+cx图象都过点P（2，0）且在点P处有公切线，求
（1）f（x）和g（x）的表达式及公切线方程；
（2）若F(x)=f′(1)lnx+(g(x))/(16)，求F（x）的单调区间．

Answer 1

（1）f'（x）=6x²+a，g'（x）=2bx+c，
依题意f（2）=0，g（2）=0，f'（2）=g'（2），
∴

16+2a=0

4b+2c=0

24+a=4b+c

∴

a=-8

b=8

c=-16

，
∴f（x）=2x³-8x，g（x）=8x²-16x．
公切线方程为y=16（x-2），即y=16x-32．
（2）F(x)=-2lnx+(1)/(2)x2-x(x>0)，
∴F′(x)=-(2)/(x)+x-1．
令

F′(x)>0

x>0

得x>2，
令

F′(x)<0

x>0

得0<x<2，
∴F（x）的单调增区间为（2，+∞），单调减区间为（0，2）．