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如图,⊙O为△ABC的外接圆,BC为直径,AD平分∠BAC交⊙O于D,点M为△ABC的内心.(1)求证:BC=2DM;(2)若DM=52,AB=8,求OM的长.
题目详情
如图,⊙O为△ABC的外接圆,BC为直径,AD平分∠BAC交⊙O于D,点M为△ABC的内心.
(1)求证:BC=
DM;
(2)若DM=5
,AB=8,求OM的长.
(1)求证:BC=
2 |
(2)若DM=5
2 |
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连结MC、DC、BD,如图,
∵点M为△ABC的内心,
∴MC平分∠ACB,
∴∠ACM=∠BCM,
∵BC为直径,
∴∠BAC=90°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=
∠BAC=45°,
∴∠DBC=∠BCD=45°,
∴△BDC为等腰直角三角形,
∴BC=
DC,
又∵∠DMC=∠MAC+∠ACM=45°+∠ACM,
而∠DCM=∠BCD+∠BCM,
∴∠DMC=∠DCM,
∴DC=DM,
∴BC=
DM;
(2)作MF⊥BC于F,ME⊥AC于E,MH⊥AB于H,如图,
∵DM=5
,
∴BC=
DM=10,
而AB=8,
∴AC=
=6,
设△ABC的内切圆半径为r,
∵点M为△ABC的内心,
∴MH=ME=MF=r,
∴四边形AHME为正方形,
∴AH=AE=r,则CE=CF=6-r,BH=BF=8-r,
而BF+FC=BC,
∴8-r+6-r=10,解得r=2,
∴MF=2,CF=6-2=4,
∵OC=5,
∴OF=5-4=1,
在Rt△OMF中,OM=
=
.
∵点M为△ABC的内心,
∴MC平分∠ACB,
∴∠ACM=∠BCM,
∵BC为直径,
∴∠BAC=90°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=
1 |
2 |
∴∠DBC=∠BCD=45°,
∴△BDC为等腰直角三角形,
∴BC=
2 |
又∵∠DMC=∠MAC+∠ACM=45°+∠ACM,
而∠DCM=∠BCD+∠BCM,
∴∠DMC=∠DCM,
∴DC=DM,
∴BC=
2 |
(2)作MF⊥BC于F,ME⊥AC于E,MH⊥AB于H,如图,
∵DM=5
2 |
∴BC=
2 |
而AB=8,
∴AC=
BC2-AB2 |
设△ABC的内切圆半径为r,
∵点M为△ABC的内心,
∴MH=ME=MF=r,
∴四边形AHME为正方形,
∴AH=AE=r,则CE=CF=6-r,BH=BF=8-r,
而BF+FC=BC,
∴8-r+6-r=10,解得r=2,
∴MF=2,CF=6-2=4,
∵OC=5,
∴OF=5-4=1,
在Rt△OMF中,OM=
MF2+OF2 |
5 |
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