已知△ABC的三边长分别为a，b，c，其面积为S，则△ABC的内切圆的半径r＝2Sa+b+c．这是一道平面几何题，请用类比推理方法，猜测对空间四面体ABCD存在什么类似结论？r＝3VS1+S2+S3+S4r＝3VS1+S2+S3+S

Question

已知△ABC的三边长分别为a，b，c，其面积为S，则△ABC的内切圆的半径r＝(2S)/(a+b+c)．这是一道平面几何题，请用类比推理方法，猜测对空间四面体ABCD存在什么类似结论？

r＝(3V)/(S1+S2+S3+S4)

r＝(3V)/(S1+S2+S3+S4)

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Answer 1

设四面体的内切球的球心为O，
则球心O到四个面的距离都是R，
所以四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为 V四面体A−BCD＝(1)/(3)(S1+S2+S3+S4)γ
猜想：四面体ABCD的各表面面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，其体积为V，
则四面体ABCD的内切球半径r＝(3V)/(S1+S2+S3+S4)
故答案为：r＝(3V)/(S1+S2+S3+S4)