以三角形ABC的边AB,AC为边分别向外作正方形ABEF和ACGH,过A点作直线分别BC,FH于D,M,求证;(1)若AD垂直BC,则AD平分FH.(2)若AD平分BC,则AD垂直FH.

Question

以三角形ABC的边AB,AC为边分别向外作正方形ABEF和ACGH,过A点作直线分别BC,FH于D,M,求证;
(1)若AD垂直BC,则AD平分FH.
(2)若AD平分BC,则AD垂直FH.

Answer 1

过F作FN⊥DB,交DB延长线于N,则FN//AD
作AP⊥FN,交FN于P,∠PAD=90°
∵ ∠FAP+∠PAB=90°=∠PAB+∠BAD
∴ ∠FAP=∠BAD
∴ RtΔABD∽RtΔAPF
又,AF=AB,RtΔABD≌RtΔAPF
∴ AP=AD,四边形APND是正方形
延长HA交FN于Q,则AQ⊥AC
∵ ∠QAP+∠QAD=∠DAC+∠DAQ=90°
∴ ∠PAQ=∠CAD
又,AP=AD
∴ RtΔAPQ≌RtΔADC
∴ AQ=AC,又AH=AC
∴ AQ=AH,A为HQ中点
∵ FQ//AD,即FQ//AM
所以,AM是三角形HFQ的中位线
M是FH中点
(2)若AD平分BC,则AD垂直FH.
∵AF=FH
∴△AFH是等腰三角形
AM是三角形中线
∴AD⊥FH