（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．（I）在平面ABC内，试做出过点P与平面A1BC平

Question

（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A ₁ B ₁ C ₁ 中，侧棱AA ₁ ⊥底面ABC，AB=AC=2AA ₁ ，∠BAC=120°，D，D ₁ 分别是线段BC，B ₁ C ₁ 的中点，P是线段AD的中点．

（I）在平面ABC内，试做出过点P与平面A ₁ BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD ₁ A ₁ ；
（II）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A ₁ M﹣N的余弦值．

Answer 1

（I）见解析（II）

（I）在平面ABC内，过点P作直线l∥BC
∵直线l⊄平面A ₁ BC，BC⊂平面A ₁ BC，
∴直线l∥平面A ₁ BC，
∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，结合l∥BC得AD⊥l
∵AA ₁ ⊥平面ABC，l⊂平面ABC，∴AA ₁ ⊥l
∵AD、AA ₁ 是平面ADD ₁ A ₁ 内的相交直线
∴直线l⊥平面ADD ₁ A ₁ ；
（II）连接A ₁ P，过点A作AE⊥A ₁ P于E，过E点作EF⊥A ₁ M于F，连接AF
由（I）知MN⊥平面A ₁ AE，结合MN⊂平面A ₁ MN得平面A ₁ MN⊥平面A ₁ AE，
∵平面A ₁ MN∩平面A ₁ AE=A ₁ P，AE⊥A ₁ P，∴AE⊥平面A ₁ MN，
∵EF⊥A ₁ M，EF是AF在平面A ₁ MN内的射影，
∴AF⊥A ₁ M，可得∠AFE就是二面角A﹣A ₁ M﹣N的平面角
设AA ₁ =1，则由AB=AC=2AA ₁ ，∠BAC=120°，可得∠BAD=60°，AB=2且AD=1
又∵P为AD的中点，∴M是AB的中点，得AP= ，AM=1
Rt△A ₁ AP中，A ₁ P= = ；Rt△A ₁ AM中，A ₁ M=
∴AE= = ，AF= =
∴Rt△AEF中，sin∠AFE= = ，可得cos∠AFE= =
即二面角A﹣A ₁ M﹣N的余弦值等于 ．