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问题探究(1)如图1,点E为矩形ABCD内一点,请过点E作一条直线,将矩形ABCD的面积分为相等的两部分;(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P为对角线AC上一点,且AC=3AP,请问在边CD上是否存
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问题探究
(1)如图1,点E为矩形ABCD内一点,请过点E作一条直线,将矩形ABCD的面积分为相等的两部分;
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P为对角线AC上一点,且AC=3AP,请问在边CD上是否存在一点E,使得直线PE将矩形ABCD的面积分为2:3两部分,如果存在求出DE的长;如果不存在,请说明理由;
解决问题
(3)如图3,现有一块矩形空地ABCD,AB=80米,BC=60米,P为对角线AC上一点,且PC=3AP,计划在这块空地上修建一个四边形花园AECF,使得E、F分别在线段AD、AB上,且EF经过点P,若每平方米的造价为100元,请求出修建该花园所需费用的范围(其他费用不计).
(1)如图1,点E为矩形ABCD内一点,请过点E作一条直线,将矩形ABCD的面积分为相等的两部分;
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P为对角线AC上一点,且AC=3AP,请问在边CD上是否存在一点E,使得直线PE将矩形ABCD的面积分为2:3两部分,如果存在求出DE的长;如果不存在,请说明理由;
解决问题
(3)如图3,现有一块矩形空地ABCD,AB=80米,BC=60米,P为对角线AC上一点,且PC=3AP,计划在这块空地上修建一个四边形花园AECF,使得E、F分别在线段AD、AB上,且EF经过点P,若每平方米的造价为100元,请求出修建该花园所需费用的范围(其他费用不计).
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1中,
连接AC、BD交于点O,作直线EO,直线EO将矩形ABCD的面积分为相等的两部分.
理由:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,OA=OC,
∴∠MCO=∠NAO,
在△MCO和△NAO中,
,
△MCO≌△NAO,
∴S△MCO=S△NAO,
∵S△ADC=S△ABC,
∴S四边形ANMD=S四边形BCMN.
(2)如图2中,作MN∥BC,使得四边形BCMN的面积=
四边形ABCD的面积,
连接AM、DN交于点O,作直线OP交CD于E,交AB于H,此时四边形ADEH的面积:四边形BCEH的面积=2:3.
易知:CM=BN=
,DM=AN=
,
由△EOM≌△HAO,得到AH=EM,设AH=EM=x,
∵AH∥EC,
∴
=
=
,
∴
=
,
解得x=
,
∴DE=DM-EM=
-
=
.
(3)如图3中,连接BD交AC于O,作OM⊥AD于M,ON⊥AN于N.
∵PC=3AO,OA=OC,
∴OP=OA,
∴过点P的任意直线将矩形ANOM的面积平分,
∵PC=3AP,
∴S△EPC=3S△EAP,
S△PCF=3S△APF,
∴S四边形AECF=4S△AEF,
当直线EF与对角线MN重合时,△AEF的面积最小(△AEF的面积=
矩形AMON的面积+△FNG的面积,所以△AEF的面积>△AMN的面积),最小值=
矩形AMON的面积=600m2,
∴四边形AECF的面积的最小值为2400m2,
当点F与点B重合时,△NGF的面积最大,此时AE=
BC=20,
∴此时△AEF的面积最大,最大面积=
×80×20=800m2,
四边形AECF的面积的最大值为3200m2,
∵每平方米的造价为100元
∴修建该花园所需费用w的范围为240000元≤w≤320000元.
连接AC、BD交于点O,作直线EO,直线EO将矩形ABCD的面积分为相等的两部分.
理由:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,OA=OC,
∴∠MCO=∠NAO,
在△MCO和△NAO中,
|
△MCO≌△NAO,
∴S△MCO=S△NAO,
∵S△ADC=S△ABC,
∴S四边形ANMD=S四边形BCMN.
(2)如图2中,作MN∥BC,使得四边形BCMN的面积=
1 |
5 |
连接AM、DN交于点O,作直线OP交CD于E,交AB于H,此时四边形ADEH的面积:四边形BCEH的面积=2:3.
易知:CM=BN=
8 |
5 |
32 |
5 |
由△EOM≌△HAO,得到AH=EM,设AH=EM=x,
∵AH∥EC,
∴
AH |
EC |
AP |
PC |
1 |
2 |
∴
x | ||
x+
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1 |
2 |
解得x=
8 |
5 |
∴DE=DM-EM=
32 |
5 |
8 |
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5 |
(3)如图3中,连接BD交AC于O,作OM⊥AD于M,ON⊥AN于N.
∵PC=3AO,OA=OC,
∴OP=OA,
∴过点P的任意直线将矩形ANOM的面积平分,
∵PC=3AP,
∴S△EPC=3S△EAP,
S△PCF=3S△APF,
∴S四边形AECF=4S△AEF,
当直线EF与对角线MN重合时,△AEF的面积最小(△AEF的面积=
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∴四边形AECF的面积的最小值为2400m2,
当点F与点B重合时,△NGF的面积最大,此时AE=
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∴此时△AEF的面积最大,最大面积=
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四边形AECF的面积的最大值为3200m2,
∵每平方米的造价为100元
∴修建该花园所需费用w的范围为240000元≤w≤320000元.
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