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如图,正方形的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过P作PF⊥AE于F.问是否存在一点P,使得以P,F,E为顶点的三角形△ABE相似?若存在,求出点P到A点的距离;若不存在,请说明理由.
题目详情
如图,正方形的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过P作PF⊥AE于F.问是否存在一点P,使得以P,F,E为顶点的三角形△ABE相似?若存在,求出点P到A点的距离;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
在射线AD上存在一点P,使得以P,F,E为顶点的三角形与△ABE相似,
理由如下:设PA=x,
情况1,当△EFP∽ABE时,则有∠PEF=∠EAB,PE∥AB,
∴四边形ABEP为矩形,
∴PA=EB=2,即x=2,
情况2,当△PFE∽△ABE时,且∠PEF=∠AEB时,
∵∠PAF=∠AEB
∴∠PEF=∠PAF,
∴PE=PA
∵PF⊥AE,
∴点F为AE的中点,
∵AE=
=
=
=2
∴EF=
AE=
,
由
=
,即
=
理由如下:设PA=x,
情况1,当△EFP∽ABE时,则有∠PEF=∠EAB,PE∥AB,
∴四边形ABEP为矩形,
∴PA=EB=2,即x=2,
情况2,当△PFE∽△ABE时,且∠PEF=∠AEB时,
∵∠PAF=∠AEB
∴∠PEF=∠PAF,
∴PE=PA
∵PF⊥AE,
∴点F为AE的中点,
∵AE=
AB2+BE2 |
42+22 |
20 |
5 |
∴EF=
1 |
2 |
5 |
由
PE |
AE |
EF |
EB |
PE | ||
2
|
|
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