三角形中位线是三角形中的重要线段,它的性质可以为许多问题的证明和求解提供依据,在几何中有着举足轻重的地位,那么如何证明三角形中位线定理呢?
思路:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,这里要明确三角形的中位线和三角形的中线不同(如图1-1-9).三角形中位线定理的内容是:三角形中位线平行于第三边,并且等于它的一半.
图1-1-9
探究:证明:如图1-1-9,DE是中位线,E是AC的中点,
过点D作DE′∥BC,则E′也是AC的中点,所以E与E′重合,DE′与DE重合.
所以DE∥BC.
同理,过点D作DF∥AC,交BC于F,则BF=FC.
因为DE∥FC,DF∥EC,所以四边形DFCE是平行四边形.
所以DE=FC.
又因为FC= BC,所以DE= BC.
上述过程中,DE′与DE重合是定理证明的关键一步,本推理过程中应用了同一法思想.
该定理的证明,关键在于添加辅助线,如图1-1-10所示的几种辅助线代表几种不同的证法.
(1)(1)延长中位线DE到F 使EF=DE.
(2)(2)延长中位线DE到F 使EF=DE得 ADCF.
(3)作CF∥AB与DE的延长线交于点F.
图1-1-10
三角形中位线定理是三角形的一个重要的性质定理,其特点是:同一题设,两个结论.一个结论是表明位置关系的,另一个结论是表明数量关系的,在应用时不一定同时需要两个关系,有时需要平行关系,有时要求倍分关系,可由具体情况按需选用.事实上,平行线等分线段定理的推论1:经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边,即三角形中位线判定定理.
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