已知圆C1：(x+2)2+y2＝4及点C2（2，0），在圆C1上任取一点P，连接C2P，做线段C2P的中垂线交直线C1P于点M．（1）当点P在圆C1上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）设轨迹E与x轴交于A1，A2两点，在

Question

已知圆C1：(x+2)2+y2＝4及点C₂（2，0），在圆C₁上任取一点P，连接C₂P，做线段C₂P的中垂线交直线C₁P于点M．
（1）当点P在圆C₁上运动时，求点M的轨迹E的方程；
（2）设轨迹E与x轴交于A₁，A₂两点，在轨迹E上任取一点Q（x₀，y₀）（y₀≠0），直线QA₁，QA₂分别交y轴于D，E两点，求证：以线段DE为直径的圆C过两个定点，并求出定点坐标．

Answer 1

（1）∵线段C₂P的中垂线交直线C₁P于点M，∴|MC₂|=|MP|，
又∵|MP|=|MC₁|+2，∴|MC₁|-|MC₂|=±2（2＜4）
∴M点轨迹是以C₁，C₂为焦点的双曲线，且2a=2，2c=4
∴点M的轨迹E的方程为x2−(y2)/(3)＝1
（2）证明：A₁（-1，0），A₂（1，0），QA1：y＝(y0)/(x0+1)(x+1)，∴D(0，(y0)/(x0+1))
QA2：y＝(y0)/(x0−1)(x−1)，∴E(0，(−y0)/(x0−1))
∴DE中点(0，(−3)/(y0))
∴以DE为直径的圆方程x2+(y+(−3)/(y0))2＝((3x0)/(y0))2
∴y=0时，x2＝(9x02)/(y02)−(9)/(y02)＝3
∴以线段DE为直径的圆C过两个定点，定点为(±√(3)，0)