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如图:等边三角形ABC的边长为4cm,点D从点C出发沿CA向A运动,点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动,已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动,运动过程中DE与BC相交于点P.(1)运动几秒后
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如图:等边三角形ABC的边长为4cm,点D从点C出发沿CA向A运动,点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动,已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动,运动过程中DE与BC相交于点P.
(1)运动几秒后,△ADE为直角三角形?
(2)求证:在运动过程中,点P始终为线段DE的中点.
(1)运动几秒后,△ADE为直角三角形?
(2)求证:在运动过程中,点P始终为线段DE的中点.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=4cm,∠A=∠ABC=∠C=60°.
设x秒时,△ADE为直角三角形,
∴∠ADE=90°,CD=0.5x,BE=0.5x,AD=4-0.5x,AE=4+0.5x,
∴∠AED=30°,
∴AE=2AD,
∴4+0.5x=2(4-0.5x),
∴x=
;
答:运动
秒后,△ADE为直角三角形;
(2)作DG∥AB交BC于点G,
∴∠GDP=∠BEP,∠DGP=∠EBP,∠CDG=∠A=60°,∠CGD=∠ABC=60°,
∴∠C=∠CDG=∠CGD,
∴△CDG是等边三角形,
∴DG=DC,
∵DC=BE,
∴DG=BE.
在△DEP和△EBP中
,
∴△DGP≌△EBP(ASA),
∴DP=PE.
∴在运动过程中,点P始终为线段DE的中点.
∴AB=BC=AC=4cm,∠A=∠ABC=∠C=60°.
设x秒时,△ADE为直角三角形,
∴∠ADE=90°,CD=0.5x,BE=0.5x,AD=4-0.5x,AE=4+0.5x,
∴∠AED=30°,
∴AE=2AD,
∴4+0.5x=2(4-0.5x),
∴x=
8 |
3 |
答:运动
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(2)作DG∥AB交BC于点G,
∴∠GDP=∠BEP,∠DGP=∠EBP,∠CDG=∠A=60°,∠CGD=∠ABC=60°,
∴∠C=∠CDG=∠CGD,
∴△CDG是等边三角形,
∴DG=DC,
∵DC=BE,
∴DG=BE.
在△DEP和△EBP中
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∴△DGP≌△EBP(ASA),
∴DP=PE.
∴在运动过程中,点P始终为线段DE的中点.
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