如图，在△ABC中，∠MAC为∠BAC的外角，P为∠MAC的平分线的反向延长线上一点（A除外）．（1）试比较AB+AC与BP+PC的大小；（2）若AB>AC，点P在∠MAC平分线的反向延长线上，使得∠BPC=∠BAC，作

Question

如图，在△ABC中，∠MAC为∠BAC的外角，P为∠MAC的平分线的反向延长线上一点（A除外）．

（1）试比较AB+AC与BP+PC的大小；
（2）若AB>AC，点P在∠MAC平分线的反向延长线上，使得∠BPC=∠BAC，作PN⊥AB于N，求证：AB-AC=2AN．

Answer 1

（1）如图作PG⊥CA于G，PN⊥AB于N．

∵PA平分∠BAG，PG⊥AG，PN⊥AN，
∴PG=PN，
在Rt△PAG和Rt△PAN中，

PA=PA

PG=PN

，
∴△PAG≌△PAN，
∴AG=AN，
在Rt△PCG中，PC>CG即PC>AC+AG，
在Rt△PBN中，PB>BN即PB>AB-AN，
∴PB+PC>（AC+AG）+（AB-AN），
∴PB+PC>AB+AC．

（2）如图，作PG⊥CA于G．

∵∠BPC=∠BAC，
∴P、B、C、A四点共圆，
∴∠PAG=∠PBC，∠PAB=∠ACB，
∵∠PAG=∠PAB，
∴∠PBC=∠PCB，
∴PB=PC，
由（1）可知，PG=PN，AG=AN，
在Rt△PCG和△PBN中，

PB=PC

PN=PG

，
∴△PCG≌△PBN，
∴CG=BN，
∴AB-AC=（BN+AN）-（CG-AG）=AN+AG=2AN．