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如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1)求证:CE=CF;(2)在图1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?(3)运用(1)(2)解答中所积累的经
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如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
(1)求证:CE=CF;
(2)在图1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,求DE的长.
(1)求证:CE=CF;
(2)在图1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,求DE的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:在正方形ABCD中,
∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,
∴△CBE≌△CDF.
∴CE=CF.
(2)GE=BE+GD成立.
∵△CBE≌△CDF,
∴∠BCE=∠DCF.
∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD.
即∠ECF=∠BCD=90°.
又∠GCE=45°,
∴∠GCF=∠GCE=45°.
∵CE=CF,∠GCF=∠GCE,GC=GC,
∴△ECG≌△FCG.
∴EG=GF.
∴GE=DF+GD=BE+GD.
(3)过C作CG⊥AD,交AD延长线于G,
在直角梯形ABCD中,
∵AD∥BC,∠A=∠B=90°,
又∠CGA=90°,AB=BC,
∴四边形ABCG为正方形.
∴AG=BC=12.
已知∠DCE=45°,根据(1)(2)可知,ED=BE+DG,
设DE=x,则DG=x-4,
∴AD=AG-DG=16-x,AE=AB-BE=12-4=8.
在Rt△AED中
∵DE2=AD2+AE2,即x2=(16-x)2+82
解得:x=10.
∴DE=10.
∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,
∴△CBE≌△CDF.
∴CE=CF.
(2)GE=BE+GD成立.
∵△CBE≌△CDF,
∴∠BCE=∠DCF.
∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD.
即∠ECF=∠BCD=90°.
又∠GCE=45°,
∴∠GCF=∠GCE=45°.
∵CE=CF,∠GCF=∠GCE,GC=GC,
∴△ECG≌△FCG.
∴EG=GF.
∴GE=DF+GD=BE+GD.
(3)过C作CG⊥AD,交AD延长线于G,
在直角梯形ABCD中,
∵AD∥BC,∠A=∠B=90°,
又∠CGA=90°,AB=BC,
∴四边形ABCG为正方形.
∴AG=BC=12.
已知∠DCE=45°,根据(1)(2)可知,ED=BE+DG,
设DE=x,则DG=x-4,
∴AD=AG-DG=16-x,AE=AB-BE=12-4=8.
在Rt△AED中
∵DE2=AD2+AE2,即x2=(16-x)2+82
解得:x=10.
∴DE=10.
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