（2012•广安）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=25，sin∠BCP=55，求点B到AC的

Question

（2012•广安）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线．
（2）若BC=2√(5)，sin∠BCP=(√(5))/(5)，求点B到AC的距离．
（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．

Answer 1

（1）∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°
∴2∠BCP+2∠BCA=180°，
∴∠BCP+∠BCA=90°，
又C点在直径上，
∴直线CP是⊙O的切线．

（2）如右图，作BD⊥AC于点D，
∵PC⊥AC
∴BD∥PC
∴∠PCB=∠DBC
∵BC=2√(5)，sin∠BCP=(√(5))/(5)，
∴sin∠BCP=sin∠DBC=(DC)/(BC)=(DC)/(2√(5))=(√(5))/(5)，
解得：DC=2，
∴由勾股定理得：BD=4，
∴点B到AC的距离为4．

（3）如右图，连接AN，
∵AC为直径，
∴∠ANC=90°，
∴Rt△ACN中，AC=(CN)/(cos∠ACN)=(CN)/(sin∠BCP)=(√(5))/((√(5))/(5))=5，
又CD=2，
∴AD=AC-CD=5-2=3．
∵BD∥CP，
∴(BD)/(CP)=(AD)/(AC)，
∴CP=(20)/(3)．
在Rt△ACP中，AP=√(AC2+CP2)=(25)/(3)，
AC+CP+AP=5+(20)/(3)+(25)/(3)=20，
∴△ACP的周长为20．