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如图,正方形ABCD中,AB=4,动点E从点A出发向点D运动,同时动点F从点D出发向点C运动,点E、F运动的速度相同,当它们到达各自终点时停止运动,运动过程中线段AF、BE相交于点P,M是线段BC上
题目详情
如图,正方形ABCD中,AB=4,动点E从点A出发向点D运动,同时动点F从点D出发向点C运动,点E、F运动的速度相同,当它们到达各自终点时停止运动,运动过程中线段AF、BE相交于点P,M是线段BC上任意一点,则MD+MP的最小值为___.
▼优质解答
答案和解析
如图作点D关于BC的对称点D′,连接PD′,
由轴对称的性质可知:MD=D′M,CD=CD′=4,
∴PM+DM=PM+MD′=PD′
过点P作PE垂直DC,垂足为G,
易证AF⊥BE,故可知P的轨迹为以AB为直径的四分之一圆弧上,当点E与点D重合,点F与点C重合时,PG和GD′均最短,
∴此时,PD′最短.
∵四边形ABCD为正方形,
∴PG=
AD=2,GC=
DC=2.
∴GD′=6.
在Rt△PGD′中,由勾股定理得:PD′=
=
=2
.
故答案为2
由轴对称的性质可知:MD=D′M,CD=CD′=4,
∴PM+DM=PM+MD′=PD′
过点P作PE垂直DC,垂足为G,
易证AF⊥BE,故可知P的轨迹为以AB为直径的四分之一圆弧上,当点E与点D重合,点F与点C重合时,PG和GD′均最短,
∴此时,PD′最短.
∵四边形ABCD为正方形,
∴PG=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴GD′=6.
在Rt△PGD′中,由勾股定理得:PD′=
PG2+GD′2 |
22+62 |
10 |
故答案为2
10 |
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