向量运算向量α=(8,-3,2)β=(0,2,-1),γ=(1,2,3)是否共面?若不共面,试计算这三个向量为棱所作的平行六1.向量α=(8,-3,2)β=(0,2,-1),γ=(1,2,3)是否共面?若不共面,试计算这三个向量为棱所作的平行六面体的

Question

向量运算 向量α=(8,-3,2)β=(0,2,-1),γ=(1,2,3)是否共面?若不共面,试计算这三个向量为棱所作的平行六
1.向量α=(8,-3,2)β=(0,2,-1),γ=(1,2,3)是否共面?若不共面,试计算这三个向量为棱所作的平行六面体的体积?
2.证明向量α在β上的投影向量为αβ/ββxβ
3.设α=(1,0,0),β=(2,2,1),向量αβγ共面,且projαγ=projβγ=3,求γ.

Answer 1

1
假设α、β、γ共面,则存在2个实数x,y,满足关系：
α=xβ+yγ,即：(8,-3,2)=x(0,2,-1)+y(1,2,3)=(1,2,3),即：8=y,-3=2x+2y,2=-x+3y
因y=8,故可得出：x=-19/2和x=22,这是矛盾的,故不存在满足条件的x和y,即：
α、β、γ不共面.
所求六面体的体积：V=(α×β)·γ,α×β=-i+8j+16k=(-1,8,16)
故：V=(-1,8,16)·(1,2,3)=-1+16+48=63
2
α在β方向上的投影,用Prj还不好表示：k=Prjβ(α)=|α|*cos,β的单位向量：
β0=β/|β|,故α的投影向量：kβ0=|α|*cos*β/|β|,而：cos=α·β/(|α|*|β|)
故所求向量：(α·β/|β|^2)β
3
projαγ表示的是γ在α方向的投影,是吧,反过来结果会不同的：
γ与α、β共面,故可以表示为：γ=xα+yβ=x(1,0,0)+y(2,2,1)=(x+2y,2y,y)
而：|α|=1,|β|=3,projαγ=|γ|cos=α·γ/|α|=x+2y=3
projβγ=|γ|cos=β·γ/|β|=(2x+4y+4y+y)/3=(2x+9y)/3=3,即：2x+9y=9
故：x=9/5,y=3/5,即：γ=(9/5+6/5,6/5,3/5)=3(5,2,1)/5