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f(x)在(0,+∞)为单调函数f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1数列f(Sn)=f(an)+f(an+1)-1求数列an的通项公式
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f(x)在(0,+∞)为单调函数 f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1 数列f(Sn)=f(an)+f(an+1)-1 求数列an的通项公式
▼优质解答
答案和解析
可求出f(1/2)=-1.
∵f(Sn)=f(an)+f(an+1)-1=f[1/ 2 an(an+1)]
∵函数f(x)是定义域在(0,+∞)上的单调函数,数列{an}各项为正数
∴Sn=1/2an(an+1)①
当n=1时,可得a1=1;
当n≥2时,Sn-1=1/2 an-1(an-1+1)②
①-②可得an=1/2an(an+1)-1/2 an-1(an-1+1)
∴(an+an-1)(an-an-1-1)=0
∵an>0,∴an-an-1-1=0
即an-an-1=1
∴数列{an}为等差数列,a1=1,d=1;
∴an=1+(n-1)×1=n
即an=n
∵f(Sn)=f(an)+f(an+1)-1=f[1/ 2 an(an+1)]
∵函数f(x)是定义域在(0,+∞)上的单调函数,数列{an}各项为正数
∴Sn=1/2an(an+1)①
当n=1时,可得a1=1;
当n≥2时,Sn-1=1/2 an-1(an-1+1)②
①-②可得an=1/2an(an+1)-1/2 an-1(an-1+1)
∴(an+an-1)(an-an-1-1)=0
∵an>0,∴an-an-1-1=0
即an-an-1=1
∴数列{an}为等差数列,a1=1,d=1;
∴an=1+(n-1)×1=n
即an=n
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