已知函数f(x)的定义域为闭区间-1到1,若对于任意的x,y属于闭区间-1到1,都有f(x+y)=f(x)+f(y)且x>0时,有f(x)>0(1)证明f(x)为奇函数（2）证明f(x)在闭区间-1到1上为单调递增函数

Question

已知函数f(x)的定义域为闭区间-1到1,若对于任意的x,y属于闭区间-1到1,都有f(x+y)=f(x)+f(y)
且x>0时,有f(x)>0
(1)证明f(x)为奇函数
（2）证明f(x)在闭区间-1到1上为单调递增函数

Answer 1

(1)令x=0,y=1,代入f(x+y)=f(x)+f(y),f(0)=0.
令y=-x,f(-x+x)=f(0)=0=f(-x)+f(x),
故f(x)=-f(-x),f(x)为奇函数.
（2）令x,y>0,x+y>x,y.
故f(x+y)>f(x),f(x+y)>f(y),
f(x)在[0,1]上单增,
又为奇函数,故在【-1,1】上单增.