证明：若一族开区间{Iu}覆盖了闭区间[0，1]，则必存在一个正数δ>0，使得[0，1]中任何两点x1，x2满足|x1-x2|

Question

证明：若一族开区间{I_u}覆盖了闭区间[0，1]，则必存在一个正数δ>0，使得[0，1]中任何两点x₁，x₂满足|x₁-x₂|β∈{I_u}．

Answer 1

证明：对于每一个x∈[0，1]，由于{I_u}覆盖了[0，1]，存在Iux∈{Iu}，使得x∈Iux，
又由Iux是开区间，存在δ_x>0，使得x∈U(x，δx)⊂U(x，2δx)⊂Iux，
显然开集族{U（x，δ_x）：x∈[0，1]}亦覆盖了区间[0，1]，
根据有限覆盖定理，存在有限个x₁，x₂，…，x_N，使得U(x1，δx1)，U(x2，δx2)，…，U(xN，δxN)
就能覆盖了[0，1]，
取δ=min{δx1，δx2，…，δxN}，对任意y₁，y₂∈[0，1]，当|y₁-y₂|存在U(xk，δxk)，有y1∈U(xk，δxk)，|y2-xk|≤|y1-y2|+|y1-xk|δxk≤2δxk